Matematika Diskrit : Relasi, Sifat Relasi, dan Contoh Soal

Statistika : Peluang Bersyarat, Bayes Formula, dan Kejadian Saling Bebas

Latar Belakang

Kondisi 1

Sedang ada wabah demam berdarah di kampusmu. Berapakah peluang kamu mengalami demam berdarah?

Tiba-tiba kamu merasa demam:

Apakah kamu makin khawatir kamu sedang mengalami demam berdarah ??

Kondisi 2

Kondisi sekarang: siang hari. Berapakah peluang nanti sore akan hujan ?

Kalau kamu tahu sekarang mendung:

Menurutmu bagaimana peluang nanti sore akan hujan ?

Sama saja ?

Lebih besar ?

Lebih kecil ?

Definisi Peluang Bersyarat

Peluang Bersyarat: Peluang kejadian A saat kamu mengetahui informasi yang berkaitan dengan kejadian A 

Contoh :

• Jika diambil orang secara acak, berapa peluang dia pintar?
• Jika diambil orang secara acak, berapa peluang dia pria dan dia pintar?
• Jika diketahui dia adalah pria, maka berapa peluang dia pintar?

Contoh Lain : 

Pecobaan : pelemparan dua buah dadu ( dadu yang digunakan adalah dadu yang fair )

• Berapakah peluang jumlah mata dadu adalah 8? 
• Jika diketahui dadu pertama adalah 3, berapakah peluang jumlah kedua mata dadu adalah 8?

Jawab

Berapa peluang jumlah mata dadu adalah 8 ?

Tanpa informasi apapun :

Diketahui mata dadu pertama adalah 3

Ruang Sampel

Kejadian A: jumlah mata dadu adalah 8

A : jumlah mata dadu adalah 8

B : dadu pertama adalah 3

Berapa peluang jumlah mata dadu adalah 8 saat diketahui dadu pertama adalah 3 ?

P( A | B ) 

• Peluang A jika diketahui B terjadi
• Peluang A bersyarat B

A : jumlah mata dadu adalah 8

B : dadu pertama adalah 3

Berapa peluang jumlah mata dadu adalah 8 saat diketahui dadu pertama adalah 3 ?

Contoh 1

Sebuah fair koin dilempar 2 kali. Berapakah peluang sisi yang menghadap ke atas dari kedua koin adalah head jika diketahui

• Sisi yang menghadap ke atas dari koin pertama adalah head?
• Setidaknya ada satu koin yang sisi menghadap ke atasnya adalah head?

Contoh 2

Semeseter ini Siti akan mengambil satu dari dua mata kuliah pilihan yang tersedia, yaitu: mata kuliah Statistika Lanjut atau mata kuliah Pemrograman Lanjut.

Berdasarkan informasi yang diperoleh, Siti memperkirakan peluang Siti mendapat nilai A di mata kuliah Statistika Lanjut adalah 0.9 dan untuk mata kuliah Pemrograman lanjut adalah 0.3.

Siti mendaftar untuk mata kuliah Pemrograman Lanjut.

Tetapi karena kapasitas kelas yang terbatas, peluang Siti untuk mendapatkan kuliah itu hanyalah 0.6.

Berapakah peluang dia akan mendapatkan mata kuliah Pemrograman Lanjut dan mendapat A ?

Bayes Formula

Mata kuliah pilihan : salah satu dari statistika lanjut atau pemrograman lanjut

Peluang mendapatkan A di mata kuliah statistika adalah 0.9

Peluang mendapatkan A di mata kuliah pemrograman lanjut adalah 0.3

Karena kapasitas kelas yang terbatas, meskipun kamu mendaftar untuk mata kuliah pemrograman lanjut, belum tentu kamu dapat mengikuti mata kuliah pemrograman lanjut

Peluang kamu masuk ke mata kuliah statistika adalah 0.4

Peluang kamu masuk ke mata kuliah pemrograman lanjut adalah 0.6

Berapakah peluang kamu mendapatkan nilai A dari mata kuliah pilihan semester ini?

Permulaan

E dan F adalah event

Contoh 1

Sebuah perusahaan asuransi membedakan orang menjadi 2 jenis:

• Rawan kecelakaan ( tidak hoki )
• Tidak rawan kecelakaan ( hoki )

Peluang seseorang yang tidak hoki untuk mengalami kecelakaan dalam setahun adalah 0.4

Peluang seseorang yang hoki untuk mengalami kecelakaan dalam setahun hanyalah 0.2

Asumsikan 30% dari populasi adalah orang yang tidak hoki

Berapakah peluang seorang yang baru saja akan membeli polis asuransi mengalami kecelakaan dalam setahun ?

Contoh 2

Ada seseorang yang baru saja membeli polis asuransi dan diketahui mengalami kecelakaan dalam setahun terakhir.

Berapakah peluang orang tersebut adalah orang yang tidak hoki ?

Formula Bayes

Contoh

Mata kuliah pilihan : salah satu di antara statistika lanjut, pemrograman lanjut, atau jaringan lanjut

Peluang mendapatkan A di statistika lanjut adalah 0.9

Peluang mendapatkan A di pemrograman lanjut adalah 0.3

Peluang mendapatkan A di jaringan lanjut adalah 0.5

Untuk semester ini, mata kuliah pilihanmu dipilihkan oleh dosen walimu baru diberitahukan ketika sudah menjelang masa perkuliahan.

Peluang kamu masuk ke mata kuliah statistika adalah 0.2

Peluang kamu masuk ke mata kuliah pemgrograman lanjut adalah 0.6

Peluang kamu masuk ke mata kuliah jaringan lanjut adalah 0.2

Berapakah peluang kamu mendapatkan nilai A dari mata kuliah pilihan semester ini ?

Contoh 1

Tes “X” adalah tes darah yang digunakan untuk mendeteksi penyakit demam berdarah

Jika seseorang memiliki penyakit demam berdarah maka dengan peluang 95% tes “X” akan menyatakan orang tersebut memiliki penyakit demam berdarah

Tetapi jika seseorang tidak memiliki penyakit demam berdarah, tes tersebut masih memiliki peluang sebesar 1% untuk menyatakan orang tersebut memiliki penyakit demam berdarah (false positive)

Jika diketahui 0.5% dari populasi memiliki penyakit demam berdarah, berapakah peluang seseorang yang mendapatkan hasil positif dari tes “X” sungguh-sunguh memiliki penyakit demam berdarah?

Contoh 2

Sebuah kotak berisi 3 tipe senter.

Peluang senter tipe 1 dapat digunakan lebih dari 100 jam adalah 0.7

Peluang senter tipe 2 dapat digunakan lebih dari 100 jam adalah 0.4

Peluang senter tipe 3 dapat digunakan lebih dari 100 jam adalah 0.3

Kotak tersebut terdiri dari 20% senter tipe 1, 30% senter tipe 2, dan 50% senter tipe 3

Jika diambil sebuah senter secara acak dari kotak, berapa peluang senter tersebut dapat digunakan lebih dari 100 jam ?

Jika diketahui senter yang terambil dapat digunakan lebih dari 100 jam, berapakah peluang senter tersebut adalah senter tipe 1 ?

Independence Events ( Saling bebas )

Permulaan

Sedang ada wabah demam berdarah di kampusmu.

Berapakah peluang kamu mengalami demam berdarah ?

Kamu tiba-tiba merasa demam

Kamu tiba-tiba merasa uangmu hilang

Berapa peluang kamu mengalami demam berdarah ?

E dan F adalah event

E dan F saling bebas

Contoh 1

Sebuah kartu diambil secara acak dari sebuah tumpukan kartu remi yang berisi 52 kartu

• E adalah kejadian di mana kartu yang terambil adalah kartu AS
• F adalah kejadian di mana kartu yang terambil adalah sekop
• Apakah E dan F saling bebas ?
• Berapakah peluang kartu yang terambil adalah AS dan sekop?