Matematika Diskrit : Relasi, Sifat Relasi, dan Contoh Soal

Rangkuman Matematika Diskrit I ( Prinsip Inklusi dan Ekslusi ) beserta Contoh dan Latihan

Operasi Dasar

Gabungan (union) ,  notasi : È

A È B = {x / xÎ A  Ú  x Î B }

Irisan(intersection),  notasi : Ç

A Ç B = {x / xÎ A  Ù  x Î B }

Komplemen, notasi : ~

~ A =  {x / xÏ A }

Selisih (difference), notasi : \

A \ B = {x / xÎ A  Ù  x Ï B  }

A \ B =  A Ç ~B

Selisih Simetri,  notasi : Å

A Å B = {x / xÎ (AÈB) Ù x Ï (AÇB) }

A Å B =  (AÈB) \ (AÇB)

A Å B =  (AÈB) Ç ~(AÇB)

Prinsip Inklusi dan Ekslusi

|P| adalah  kardinalitas (banyaknya unsur) himpunan P

Misal, P = { a,b,c,d,e}, Q = {d,e,f}

Maka:

|P| = 5, |Q| = 3,

PÇQ = {d,e}, sehingga |PÇQ| = 2

PÈQ = {a,b,c,d,e,f}, sehingga |PÈQ| = 6

Berikut beberapa hasil:

|PÈQ| £ |P| + |Q|

|PÇQ| £ min (|P|, |Q|)

|PÅQ| = |P| + |Q| - 2|PÇQ|

|P - Q| ³ |P| - |Q|

Contoh:

Di dalam himpunan 12 buku, 6 diantaranya novel, 7 buku diterbitkan tahun 1984, dan 3 novel diterbitkan tahun 1984.

Misal:

A1: himpunan buku novel

A2: himpunan buku yang terbit tahun 1984

Maka:

|A1|=6, |A2|=7, dan |A1ÇA2|=3

Dengan demikian:

|A1ÈA2| = |A1| + |A2| - |A1ÇA2|= 6+7-3 = 10

Artinya ada 10 buku yang berupa novel atau yang diterbitkan tahun 1984, atau keduanya.

Dengan demikian dari 12 buku ada 2 buku yang bukan novel dan tidka diterbitkan tahun 1984

Latihan

1. Di antara bilangan bulat 1-300, berapa banyak yang tidak habis dibagi 3, 5, dan 7. Berapa banyak yang habis dibagi 3, tetapi tidak habis dibagi 5 maupun 7

Misalkan 

A1 : himp bil bulat habis dibagi 3

A2 : himp bil bulat habis dibagi 5

A3 : himp bil bulat habis dibagi 7

Ditanyakan:

a. |~A1 Ç ~A2 Ç ~A3 | = ~ |(A1È A2 È A3)|

b. |A1 Ç (~A2 Ç ~A3)|  = |A1|

2. Di antara 100 mahasiswa, 32 mempelajari matematika, 20 mempelajari fisika, 45 mempelajari biologi, 15 mempelajari matematika dan biologi, 7 mempelajari  matematika dan fisika, 10 mempelajari fisika dan biologi, dan 30 tidak mempelajari satupun di antara ketiga bidang tersebut.

• Hitunglah berapa banyak yang mempelajari ketiga bidang tersebut ?
• Hitunglah berapa banyak yang mempelajari hanya satu dari ketiga bidang tersebut ?

3. Enam puluh ribu superter sepakbola yang mendukung pertandingan di kandang sendiri membeli habis semua cindera mata untuk mobil mereka. Secara keseluruhan laku terjual 20000 stiker, 36000 bendera kecil, dan 12000 gantungan kunci. Kita diberitahu bahwa 52000 superter membeli sedikitnya satu cindera mata dan tidak seorang pun membeli suatu jenis cindera mata lebih dari satu. Selain itu, 6000 superter membeli bendera kecil dan gantungan kunci, 9000 membeli bendera kecil dan stiker, dan 5000 membeli gantungan kunci dan stiker.

• Berapa banyak suporter yang membeli ketiga macam cindera mata di atas ?
• Berapa banyak suporter yang membeli tepat satu cindera mata ?

4. Pada sebuah pertemuan reuni yang dihadiri oleh 30 wanita, 17 merupakan keturunan daerah Bantul, 16 keturunan daerah Wonosari, dan 5 bukan keturunan Bantul maupun Wonosari. Berapa banyak di antara 30 wanita itu yang keturunan Bantul dan Wonosari?

5. Diantara 50 mahasiswa di sebuah kelas, 26 memperoleh nilai A dari ujian pertama, dan 21 memperoleh nilai A dari ujian kedua. Jika 17 mahasiswa tidak memperoleh nilai A dari ujian pertama maupun ujian kedua, berapa banyak mahasiswa yang memperoleh dua kali nilai A dari kedua ujian?

6. Diantara 130 mahasiswa, 60 memakai topi di dalam kelas, 51 memakai syal di leher, dan 30 memakai topi dan syal. Diantara 54 mahasiswa yang memakai sweater, 26 memakai topi, 21 memakai syal, dan 12 memakai topi dan syal. Mereka yang tidak memakai topi maupun syal memakai sarung tangan.

• Berapa banyak mahasiswa yang memakai sarung tangan ?
• Berapa banyak mahasiswa yang tidak memakai sweater memakai topi, namun tidak memakai sarung syal ?
• Berapa banyak mahasiswa yang tidak memakai sweater tidak memakai topi ataupun syal ?

Kau bisa download PDF melalui link ini