Statistika : Random Variabel dan Contoh Soal
Definisi
Percobaan : pelemparan dua buah dadu
Ruang sampel :
Variabel X menyatakakan banyaknya mata dadu 6 yang muncul
Nilai X yang mungkin?
0, 1, atau 2
Random Variabel
Banyaknya mata dadu 6 berbeda-beda untuk setiap simple event
Definisi:
Sebuah aturan yang memetakan setiap simple event di ruang sampel ke tepat satu bilangan real
Lambang:
Definisi:
Sebuah aturan yang memetakan setiap simple event di ruang sampel ke tepat satu bilangan real
Lambang:
- Huruf kapital sebagai random variable (contoh: X, Y, dll)
- Huruf kecil sebagai nilai yang mungkin untuk random variabel
Contoh
Tentukan semua kemungkinan nilai dari X, Y, dan Z jika :
- X adalah random variable yang menyatakan perbedaan dari banyaknya head dan banyaknya tail dalam pelemparan sebuah koin yang fair 3 kali
- Y adalah hasil perkalian mata dadu dari pelemparan dua buah dadu yang fair
- Z adalah lamanya sebuah lampu sebelum rusak (diukur dalam jam)
Latihan
1. Tiga buah koin yang fair dilempar bersamaan. Misal Y menyatakan banyaknya head yang muncul. Tentukan semua kemungkinan nilai Y dan peluangnya!
2. Kamu harus mengambil tiga buah bola bersamaan secara acak dari kotak yang berisi 3 bola putih, 3 bola merah, dan 5 bola hitam. Untuk sebuah bola putih yang terambil, kamu akan mendapatkan $1. Untuk sebuah bola merah yang terambil, kamu harus membayar $1. Jika X menyatakan total uang yang kamu dapat. Berapa saja kemungkinan nilai X? Tentukan peluang untuk masing-masing nilai!
Contoh
Berapa peluang kamu merugi (harus membayar)?
Fungsi distribusi
Untuk sebuah random variable X, fungsi F:
disebut sebagai Cumulative distribution function (CDF). Fungsi distribusi dari X. Peluang random variabel bernilai kurang dari atau sama dengan x
Contoh
Kamu harus mengambil tiga buah bola bersamaan secara acak dari kotak yang berisi 3 bola putih, 3 bola merah, dan 5 bola hitam. Untuk sebuah bola putih yang terambil, kamu akan mendapatkan $1. Untuk sebuah bola merah yang terambil, kamu harus membayar $1. X menyatakan total uang yang kamu dapat.
Tentukan fungsi distribusi dari X (F(x))!
Random Variabel Diskret
Definisi
Random variabel diskret: Random variabel yang kemungkinan nilainya terhitung (countable)
Contoh:
- Banyaknya head pada pelemparan 2 buah koin
- Hasil perkalian mata dadu pada pelemparan dua buah dadu
- dll
Probability Mass Function (pmf)
X menyatakan banyaknya head yang muncul dalam pelemparan dua buah dadu.
- Tentukan pmf dan fungsi distribusi untuk random variable X!
- Gambarkan grafik untuk pmf dan fungsi distribusi untuk X
Expected Value
X menyatakan mata dadu yang muncul dalam pelemparan sebuah dadu.
- Dalam 6 kali pelemparan, berapakah rata-rata mata dadu yang keluar?
- Dalam 12 kali pelemparan?
- Dalam tak hingga kali pelemparan?
- Bila peluang kemunculan untuk masing-masing mata dadu tidak sama?
Contoh: dalam pelemparan sebuah dadu, peluang kemunculan masing-masing mata dadu adalah
- p(1) = 0.1
- p(2) = 0.1
- p(3) = 0.1
- p(4) = 0.1
- p(5) = 0.3
- p(6) = 0.3
- Berapakah rata-rata dadu yang muncul dalam 10 kali pelemparan?
- Berapakah rata-rata dadu yang muncul dalam tak hingga kali pelemparan?
X adalah random variabel diskret. Memiliki pmf p(x)
Rata-rata X atau expected value dari X adalah:
Rata-rata nilai X sesuai bobotnya
Lambang: E[X]
Contoh 1
Dalam pelemparan 3 buah koin yang fair. X menyatakan banyaknya head yang muncul. Tentukan E[X]!
Contoh 2
Sebuah acara kuis terdiri dari pertanyaan A dan B. Seorang kontestan diperbolehkan untuk memilih urutan menjawab kedua pertanyaan tersebut. Jika dia berhasil menjawab pertanyaan pertama yang dia pilih, dia boleh menjawab pertanyaan berikutnya.
Tetapi Jika dia gagal menjawab pertanyaan yang pertama dia pilih, dia tidak boleh melanjutkan ke pertanyaan berikutnya. Dia memiliki keyakinan sebesar 60% dia bisa menjawab pertanyaan 1 dengan benar. Dia memiliki keyakinan sebesar 80% dia bisa menjawab pertanyaan 2 dengan benar
Jika dia menjawab pertanyaan A dengan benar, dia akan mendapat $200. Jika dia menjawab pertanyaan B dengan benar, dia akan mendapat $100. Pertanyaan A dan B sama sekali tidak berhubungan.
Manakah pertanyaan yang harus ia pilih pertama untuk memaksimalkan harapan kemenanangannya?
Variansi
X menyatakan mata dadu yang muncul dalam pelemparan sebuah dadu yang fair
Y menyatakan mata dadu yang muncul dalam pelemparan sebuah dadu yang tidak fair
Apakah X dan Y adalah dadu yang sama?
Definisi :
Var(X) atau variansi dari X adalah sebaran nilai X terhadap expected value-nya (E[X}). Diketahui X memiliki mean μ (E[X]=μ), maka:
Contoh:
Hitunglah Var(X) jika X adalah kemungkinan mata dadu dari pelemparan sebuah dadu yang fair
Contoh
Dalam pelemparan 3 buah koin yang fair. X menyatakan banyaknya head yang muncul.
- Tentukan E[X]!
- Tentukan Var(X) dan SD(X)!
Untuk sebuah head yang muncul, kamu mendapatkan uang $3. Y menyatakan besar uang yang kamu dapat
- Tentukan E[Y]
- Tentukan Var(Y) dan SD(Y)
- Tentukan E[Z]
- Tentukan Var(Z) dan SD(Z)
Mean dan Variansi
Jika g(X) adalah fungsi dari X, maka:
Random Variabel Binomial
Contoh
Percobaan: Pelemparan 3 buah koin. Masing-masing koin tersebut memiliki peluang untuk muncul head sebesar 1/3 dan tail sebesar 2/3. X menyatakan banyaknya kepala yang muncul
- Tentukan semua kemungkinan nilai X
- Tentukan peluang X=3
- Tentukan pmf untuk X
- n buah percobaan yang sama
- Masing-masing percobaan saling bebas dengan percobaan lainnya
- Untuk sebuah percobaan, hanya ada 2 kemungkinan:
- •“sukses” dengan peluang sebesar p
- •“tidak sukses” dengan peluang sebesar 1-p
- X menyatakan banyaknya yang “sukses”
Saat membeli sebuah sekrup dengan merk “X”, Anda memiliki peluang mendapatkan sekrup yang rusak dengan peluang 0.01. Perusahaan “X” melakukan inovasi dengan menjual sekrup dalam kemasan. Satu buah kemasan sekrup akan berisi 10 buah sekrup.
- Untuk satu kemasan sekrup, berapakah peluang terdapat 1 buah sekrup yang rusak?
- Berapakah peluang tidak terdapat satupun sekrup yang rusak?
- Perusahaan X menjanjikan akan mengembalikan uang pada pembeli jika di dalam kotak yang dibeli terdapat setidaknya 2 sekrup yang rusak.
- Dari seluruh kemasan yang dijual oleh perusahaan “X”, berapa proporsi kemasan sekrup yang harus diganti oleh perusahaan “X”?
Dalam sebuah permainan judi yang dilakukan dengan pelemparan tiga buah dadu yang fair. Pemain boleh menebak sebuah angka. Jika angka yang ditebak oleh pemain muncul i kali, maka pemain akan mendapatkan $i. Jika angka yang ditebak pemain tidak muncul sama sekali, maka pemain harus membayar $i
- Berapakah peluang pemain tidak membayar?
- Berapakah expected value dari permainan ini?
- Apakah game ini “layak” dimainkan?
Properti dari Random Variabel Binomial
Ilustrasi: Peluang sebuah baut rusak adalah 0.01. Jika terdapat 10 buah batu, kira-kira ada berapa banyak baut yang rusak?
Contoh
Siti sedang mengikuti ujian masuk les yang dia sama sekali tidak mengetahui bahan yang diujikan. Ujian masuk terdiri dari 40 soal pilihan ganda (masing-masing soal terdiri dari 4 pilihan)
Karena Siti sama sekali tidak tahu bahan yang diujikan, Siti mengisi dengan “nembak” untuk semua nomor
- Kira-kira berapakah nilai yang akan Siti dapatkan?
- Pada rentang berapakah nilai Siti akan berada?
Random Variabel Poisson
Ilustrasi
Peluang sebuah baut akan rusak adalah 0.01. Terdapat 1000 buah baut. Berapa peluang terdapat 5 baut yang rusak?
Contoh kejadian yang berdistribusi Poisson :
- Banyaknya kesalahan cetak pada sebuah halaman buku
- Banyak orang di dalam sebuah komunitas yang hidup hingga lebih dari 100 tahun
- Banyaknya kecelakaan yang terjadi dalam sehari
- Banyaknya salah sambung yang terjadi dalam sehari di seluruh dunia
Peluang sebuah karakter diketik dengan salah adalah 0.001. Sebuah halaman terdiri dari 500 karakter
- Berapa peluang setidaknya ada 1 error di halaman tersebut ?
- Dalam 1 halaman tersebut, kira-kira ada berapa banyak kesalahan yang terjadi ?
Rata-rata angka kecelakaan dalam sebulan adalah 3.5
- Berapa peluang setidaknya ada 2 kecelakaan bulan depan ?
- Berapa peluang paling banyak ada 1 kecelakaan bulan depan ?
Posting Komentar