Matriks dan Ruang Vektor : Basis, Koordinat, Dimensi, Null Space, Row Space, dan Solution Space
Basis
Definisi : Generalisasi ruang vektor suatu sistem koordinat pada ruang berdimensi 2 dan 3.
Koordinat : Koefisien-koefisien pada basis V.
Jika V adalah suatu ruang vektor sebarang dan S = {v1 ,v2 , . . . ,vn } adalah himpunan vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk V jika dua syarat berikut berlaku:
- S bebas linear
- S merentang V
Basis dari ruang vektor itu tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu basis. S itu termasuk bebas linear atau linear independent”. Maksudnya adalah bilangan – bilangan yang termasuk di dalam A harus bebas linier atau dengan kata lain tidak boleh berkelipatan dengan himpunan yang lain.
Tetapi ada kalanya bagaimana jika kita menemukan dua himpunan vektor atau lebih yang berkelipatan.Kondisi seperti ini disebut bergantung linier.
Tetapi suatu himpunan bisa juga disebut bergantung linier jika terdapat himpunan vektor yang anggotanya mengandung nol.Jika ini terjadi berarti kedua himpunan tersebut bukan bersifat bebas linier dan berarti tidak dapat disebut basis.
Contoh
Selidiki dan tentukan apakah himpunan vektor – vektor dibawah ini bebas linier atau bergantung linier ?
- A = {2,2,3} dan B = {3,1,2}
- B = {2,3,4} dan C = {4,6,8}
- U = {1,2,3} V = {2,3,7} dan W = {0,0,0}
Jawab
a. Himpunan vektor ini termasuk bebas linier karena semua anggota himpunannya tidak berkelipatan.
b. Himpunan vektor ini disebut bergantung linier karena semua anggota himpunannya berkelipatan satu sama lain yaitu C=2B.
c. Jika ada himpunan yang mengandung nol berarti disebut bergantung linier walaupun himpunan lain bebas linier tetapi jika ada himpunan yang mengandung nol tetap disebut bergantung linier.
Selain itu juga, untuk membuktikan apakah vektor-vektor tersebut adalah bebas linier dan membangun, anda cukup dengan melakukan OBE--Operasi Baris Elementer--dengan ketentuan:
- Membangun jika memiliki setidaknya satu solusi--solusi banyak masih membangun
- Bebas Linier apabila memiliki solusi tunggal.
Contoh 2
Himpunan vektor-vektor , dimana v1= (2, -1, 0, 3), v2 = (1, 2, 5, -1), dan v3 = (7, -1, 5, 8) adalah himpunan tak bebas linier, karena 3v1 + v2 – v3 = 0.
Contoh 3
Tinjaulah vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) pada R3. Ruas komponen persamaan vector
K1 i + k2 j + k3 k = 0
K1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 1) = 0
Jadi , K1 = 0, k2 = 0 dan k3 = 0; sehingga himpunan S = (i, j, k) bebas linier. Uraian serupa dapat digunakan untuk memperlihatkan bahwa vector-vector e1 = (0, 0, 0, … , 1), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0), … ,en = (0, 0, 0, …,0) membentuk himpunan bebas linier pada Rn
Teorema :
Jika S = { v1, v2 , . . . , vn } adalah suatu basis dari ruang vektor V, maka setiap vektor v pada V dapat dinyatakan dalam bentuk v = c1v1+c2v2 + . . . +cnvn dengan tepat satu cara.
Dimensi
Definisi: Jumlah vektor pada suatu basis.
Dimensi Terhingga : Suatu ruang vektor taknol V terdiri dari himpunan terhingga vektor-vekor {v1 , v2 , . . . , vn } yang membentuk suatu basis.
Kita dapat mengetahui nilai dari suatu dimensi pada suatu himpunan atau basis dari jumlah vektor – vektor tersebut. Dengan kata lain misalkan V adalah suatu ruang vektor A = {v1,v2,v3,…vn} basis dari V. Dimensi dari V itu = n (banyaknya vektor – vektor di A).
Contoh :
Tentukan basis dan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh :
- A={1,2,3} B={2,2,3} C={2,1,2}
- A={1,2,3} B={2,4,6} C={2,3,5}
- A={2,3,4} B={4,6,8} C={6,9,12}
Jawab :
a. Ketiga himpunan diatas termasuk vektor yang bersifat bebas linier.Oleh karena itu dimensinya adalah 3 dan basis adalah {A,B,C}.Ketiganya termasuk basis karena bebas linier.
b. Dari himpunan – himpunan di atas,dua vektor yaitu {A,B} bergantung linier karena berkelipatan.Karena lebih dominan bergantung linier sehingga {A,B,C} bergantung linier.Tetapi karena yang dapat dikatakan sebagai basis harus bersifat bebas linier sehingga kita dapat mengambil dua vektor yang bebas linier yaitu {A,C}.Berarti dimensi adlah 2 karena vektor yang termasuk basis ada 2.Jadi basisnya adalah {A,C}.
c. Ketiga vektor – vektor diatas berkelipatan sehingga bergantung linier.Karena dari itu,kita hanya dapat mengambil satu vektor yang bebas linier yaitu {C}.Jadi dimensi adalah 1 dan basisnya adalah {C}.
Koordinat
S={v_1,v_2,…,v_n} is a basis for a vector space V, and v = c_1 v_1+c_2 v_2+…+c_n v_n
Coordinate is the expression for a vector v in terms of the basis S. The scalars c_1, c_2,…,c_n are called the coordinates of v relative to the basis S
(v)_s=(c_1,c_2,…,c_n)
Special case: where V=R^n and S is the standard basis → v=(v)_s
Contoh
- We showed before that the vectors v_1 = (1, 2, 1), v_2 = (2, 9, 0), v_3 = (3, 3, 4) form a basis for R^3. Find the coordinate vector of v = (5, -1, 9) relative to the basis S = {v_1,v_2,v_3}
- Find the vector v in R^3 whose coordinate vector relative to S in (v)_s = (-1,3,2)
Reduce and Enlarge Basis
Let S be a finite set of vectors in a finite-dimensional vector space V
- If S spans V but is not a basis for V, then S can be reduced to a basis for V by removing appropriate vectors from S
- If S is a linearly independent set that is not already a basis for V, then S can be enlarged to a basis for V by inserting appropriate vectors into S
Example
- The vectors v_1 = (1, -2, 3) and v_2 = (0, 5, -3) are linearly independent. Enlarge {v_1,v_2} to a basis for R^3
- Find a basis for the subspace of R^3 that is spanned by the vectors v_1 = (1, 0, 0), v_2 = (1, 0, 1), v_3 = (2, 0, 1), v_4 = (0, 0, -1)
Row Space, Column Space, and Null Space
Definition
A is an m×n matrix
Row space: the subspace of R^n spanned by the row vectors of A
Column space: the subspace of R^m spanned by the column vectors of A
Null space: the solution space of the homogeneous system of equations Ax=0, which is a subspace of R^n
Solution Space
The solution set of a homogeneous linear system Ax=0 of m equations in n unknowns is a subspace of R^n . The solution set → solution space of the system.
Determine the solution space of the system:
Example
Find the solution space and basis for the solution space of the linear systems:
Find a basis for the row space and column space of the coefficient matrix for the linear system above
Rank, Nullity, and the Fundamental Matrix Spaces
Rank of A is denoted by rank(A): the common dimension of the row space and column space of a matrix A
Theorem: the row space and the column space of a matrix A have the same dimension
Nullity of A is denoted by nullity(A): the dimension of the null space of A
Example
Find the rank and nullity of the matrix :
If A is a matrix with n columns, then rank(A)+nullity(A)=n
Sumber
Slide MRV : Dimensi, Koordinat, dan Basis
Posting Komentar