Matriks dan Ruang Vektor : Nilai Eigen dan Vektor Eigen, Diagonalisasi, dan Geometric Algebraic Mutiplicity
Eigen values and Eigen vectors
Jika terdapat suatu matrik A berukuran n x n dan vektor tak nol x berukuran , x elemen Rn, maka dapat dituliskan :
Ax : vektor berukuran n x n
λ : skalar elemen riil yang memenuhi persamaan, disebut nilai eigen (karekteristik)
x : vektor eigen
Apabila sebuah matriks A yang berukuran n x n dan vektor x adalah sebuah vektor pada Rn, maka Ax juga merupakan sebuah vektor pada Rn, namun biasanya secara umum tidak terdapat hubungan geometris antara vektor x dengan vektor Ax. Namun, di dalam kasus-kasus tertentu diperoleh beberapa vektor x tak nol sehingga x dan Ax merupakan penggandaan atau kelipatan skalar satu sama lainnya.
Cara menentukan nilai eigen dari A
Untuk mencari nilai eigen dari matrik A yang berukuran n x n yang memenuhi persamaan :
Ax = λx dapat ditulis sebagai :
IAx = IλX , Ax = λIx atau ekivalen : (λI – A)x = 0
Sistem persamaan tersebut memiliki jawab bukan nol (singular), jika dan hanya jika :
Det (A) =
Ini disebut sebagai persamaan karakteristik ( polinomial dalam λ )
Contoh soal :
1. Buktikan vektor x = (2, -1) adalah vektor eigen dari A = [(1,4),(2,3)] dan tentukan nilai eigennya!
Jawab :
Untuk membuktikannya dilakukan dengan cara mengalikan matrik dengan vektor, sehingga diperoleh hasil kelipatan dari vektor itu sendiri.
2. Carilah nilai eigen dari A = [(0,3),(2,1)] :
Jawab :
Nilai eigen ditentukan dari persamaan
Cara menentukan vektor eigen dari A
Banyaknya nilai eigen maksimal n buah. Untuk setiap nilai eigen dapat dicari ruang solusi untuk x dengan memasukkan nilai eigen ke dalam persamaan : (λI – A)x =0
Ruang solusi yang diperoleh disebut : ruang eigen. Dari ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tertentu dapat dicari minimal sebuah basis ruang eigen yang saling bebas linier.
Vektor eigen yang berhubungan dengan λ adalah vektor-vektor tidak nol dalam ruang eigen.
Basis dari ruang eigen yang berhubungan dengan λ = 1 adalah : ( -2 ,1 ,1 )
Untuk λ = 2 :
Basis dari ruang eigen yang berhubungan dengan λ = 2 adalah : ( 0, 1, 0 ) dan ( -2, 0, 1 )
2. Carilah nilai-nilai eigen dan basis-basis untuk ruang eigen dari A = [(3,2),(-1,0)] :
Jawab :
det (λI – A) = 0
(λ-3)(λ) – (1)(-2) = 0
λ^2- 3λ + 2 = 0
Nilai eigen : λ1 = 2, λ2 = 1
Tentukan basis dari ruang eigen :
Jawab :
Dari hasil perhitungan sebelumnya diperoleh nilai eigen A adalah 1 dan 2. Dengan substitusi λ=1 ke persamaan : ( λI-A )x = 0 diperoleh :
Perhitungan Vektor Eigen
Kita tinjau kembali persamaan dimana A adalah matriks bujur sangkar dan X adalah vektor bukan nol yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam subbab sebelumnya telah dibahas tentang perhitungan nilai eigen dari matriks A(λ ), pada subbab ini kita bahas vektor yang memenuhi persamaan tersebut yang disebut vektor eigen (vektor karakteristik) yang sesuai untuk nilai eigennya.
Kita tinjau sebuah matriks bujur sangkar orde 2 x 2 berikut:
Persamaan diatas adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang Rn yang tidak nol didapatkan jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi non trivial untuk nilai eigen yang sesuai.
Diagonalization
A and B are square matrices. B is similar to A if there is an invertible matrix P such that B=P^(-1) AP.
A square matrix A is said to be diagonalizable if it is similar to some diagonal matrix.
- If there exists an invertible matrix P such that P^(-1) AP is diagonal.
- The matrix P is said to diagonalize A
A is an n×n matrix, the following statements are equivalent
- A is diagonalizable
- A has n linearly independent eigen vectors
Example
Geometric and Algebraic Multiplicity
λ_0 is an eigenvalue of an n×n matrix A. The dimension of the eigenspace corresponding to λ_0: geometric multiplicity of λ_0. The number of times that λ-λ_0 appears as a factor in the characteristic polynomial of A: algebraic multiplicity of λ_0
Theorem :
- For every eigenvalue of A, the geometric multiplicity is less than or equal to the algebraic multiplicity
- A is diagonalizable if and only if the geometric multiplicity of every eigenvalue is equal to the algebraic multiplicity
Example
- Find the eigenvalues of A
- For each eigenvalue λ, find the eigenvector
- Find P that diagonalize A
- Compute A^5
Sumber
Slide MRV : Nilai Eigen Vektor dan Eigen Vektor
Posting Komentar