SOP adalah istilah yang umum digunakan dalam matematika, logika, dan elektronika digital. Ini merujuk pada metode penyederhanaan ekspresi aljabar Boolean atau fungsi logika.
Dalam aljabar Boolean, variabel hanya memiliki dua nilai mungkin, biasanya diwakili sebagai 0 (salah) dan 1 (benar). Ekspresi Jumlah Produk dibentuk dengan mengambil OR logis (jumlah) dari beberapa termin AND logis (produk). Setiap termin adalah produk dari variabel dan negasinya. Metode ini digunakan untuk menyederhanakan dan merepresentasikan fungsi logika yang kompleks dalam bentuk yang lebih ringkas.
Sebagai contoh, jika Anda memiliki dua variabel Boolean A dan B, ekspresi SOP untuk fungsi logika F(A, B) = A DAN B akan ditulis sebagai berikut:
F(A, B) = A * B
Dan jika Anda memiliki fungsi yang lebih kompleks seperti F(A, B, C) = (A DAN B) ATAU (A DAN C), ekspresi SOP-nya akan menjadi:
F(A, B, C) = (A * B) + (A * C)
Bentuk Jumlah Produk berguna dalam desain rangkaian digital, minimisasi logika, dan penyederhanaan persamaan logika untuk implementasi yang lebih mudah.
1. Tentukan Variabel: Tetapkan dengan jelas variabel input dan nilainya (0 atau 1) berdasarkan masalah atau aplikasi yang ada.
2. Tuliskan Ekspresi SOP: Ungkapkan fungsi logika dalam bentuk SOP dengan menggunakan variabel dan negasi (penegasan) mereka bersama dengan operasi AND dan OR logika.
3. Buat Tabel Kebenaran: Daftarkan semua kombinasi kemungkinan dari nilai input dan hitung nilai output untuk masing-masing berdasarkan ekspresi SOP. Tabel kebenaran ini menjadi panduan untuk desain rangkaian.
4. Desain Gerbang Logika: Berdasarkan tabel kebenaran, desain gerbang logika yang diperlukan untuk mengimplementasikan ekspresi SOP. Anda akan menggunakan gerbang AND untuk termin produk dan gerbang OR untuk jumlah dari termin-termin produk ini.
5. Sambungkan Gerbang: Sambungkan gerbang logika sesuai dengan ekspresi SOP, pastikan input dan output terhubung dengan benar.
6. Pengujian: Uji rangkaian dengan berbagai kombinasi input untuk memverifikasi bahwa rangkaian menghasilkan output yang benar sesuai dengan ekspresi SOP.
7. Optimasi: Dalam beberapa kasus, Anda mungkin ingin mengoptimalkan rangkaian dengan menyederhanakan ekspresi SOP lebih lanjut menggunakan teknik seperti peta Karnaugh atau aturan aljabar Boolean. Hal ini dapat mengurangi jumlah gerbang dan meningkatkan efisiensi.
8. Implementasi: Implementasikan rangkaian menggunakan komponen elektronik fisik seperti transistor dan kabel atau menggunakan perangkat desain digital dan bahasa deskripsi perangkat keras untuk perangkat logika yang dapat diprogram (misalnya FPGA) atau sirkuit terpadu khusus aplikasi (ASIC).
Langkah-langkah implementasi khusus dan kompleksitas rangkaian akan bervariasi tergantung pada kompleksitas ekspresi SOP dan tingkat optimasi yang diinginkan. Perangkat lunak desain digital canggih dan alat keras sering digunakan dalam praktiknya untuk mempermudah desain dan implementasi rangkaian logika yang kompleks. Mari kita selesaikan contoh sederhana implementasi ekspresi Jumlah Produk (Sum of Products/SOP) dalam rangkaian logika.
Masalah: Implementasikan ekspresi SOP berikut menggunakan gerbang logika: F(A, B, C) = (A DAN B) ATAU (A DAN C)
Solusi:
Tentukan Variabel: Kami memiliki tiga variabel input: A, B, dan C.
Tuliskan Ekspresi SOP: Ekspresi SOP yang diberikan adalah F(A, B, C) = (A DAN B) ATAU (A DAN C).
Buat Tabel Kebenaran:
A B C A DAN B A DAN C (A DAN B) ATAU (A DAN C) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Desain Gerbang Logika:
- Untuk (A DAN B), kita memerlukan sebuah gerbang AND dengan input A dan B.
- Untuk (A DAN C), kita memerlukan gerbang AND lain dengan input A dan C.
- Untuk menggabungkan hasil dari kedua gerbang AND ini, kita memerlukan gerbang OR.
Sambungkan Gerbang:
- Sambungkan A dan B ke satu gerbang AND.
- Sambungkan A dan C ke gerbang AND lainnya.
- Sambungkan keluaran dari kedua gerbang AND ke gerbang OR.
- Keluaran dari gerbang OR mewakili (A DAN B) ATAU (A DAN C).
Pengujian: Verifikasi rangkaian dengan mengujinya dengan berbagai kombinasi input. Rangkaian harus menghasilkan output yang benar sesuai dengan tabel kebenaran.
Dalam praktiknya, ekspresi POS biasanya berisi sejumlah suku yang tidak mencakup seluruh variabel yang ada dalam domain ekspresi. Sebagai contoh, jika terdapat ekspresi 𝐴 + 𝐵 + 𝐶, maka bentuk POS standarnya akan mencakup suku-suku seperti A.B.C, A.B.C̅, A̅.B.C, dan A̅.B.C̅. Dengan menggunakan bentuk standar POS, dapat dihasilkan implementasi logika yang lebih efisien dan terstruktur. Ekspresi Standar SOP, hingga saat ini terdiri dari perkalian yang tidak mencakup semua variabel dari domain ekspresi.
Contoh: Ekspresi 𝐴 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 𝐷 + 𝐴 𝐵𝐶 𝐷 memiliki domain yang terdiri dari variabel A, B, C, dan D. Namun, himpunan variabel tersebut tidak direpresentasikan dalam term pertama, yaitu D atau D’ hilang dari term pertama, dan C atau C’ tidak muncul dalam term kedua.
Ekspresi SOP standar atau baku adalah ekspresi di mana semua variabel dalam domain muncul dalam setiap term perkalian di dalam ekspresi.
Contoh: 𝐴 𝐵𝐶 𝐷 + 𝐴𝐵 𝐶𝐷 + 𝐴 𝐵𝐶 𝐷
Konversi Istilah Perkalian ke SOP Standar
Setiap istilah perkalian dalam ekspresi SOP yang tidak mencakup semua variabel dalam domain dapat diperluas ke bentuk standar untuk menyertakan semua variabel dalam domain dan termasuk komplemennya.
Ekspresi yang tidak standar dikonversi ke bentuk standar menggunakan aturan aljabar Boolean (A+A’ = 1).
- Kalikan setiap istilah perkalian non-standar dengan istilah yang terdiri dari jumlah variabel yang hilang dan komplemennya; menghasilkan dua istilah perkalian. Ingat: mengalikan dengan 1 tidak mengubah nilai sebelumnya.
- Ulangi langkah 1 hingga semua istilah perkalian menghasilkan istilah yang mencakup semua variabel dalam domain (komplemen atau tidak komplemen). Jumlah istilah perkalian digandakan untuk setiap variabel yang hilang.
Pertama-tama, kita akan membahas konsep konversi ekspresi logika ke dalam Standar Produk Penjumlahan (SOP). Ekspresi SOP adalah cara yang umum digunakan untuk merepresentasikan fungsi logika dalam domain A, B, C, dan D. Representasi biner dari Istilah Produk Standar adalah kunci untuk memahami konsep ini.
- Domain Ekspresi SOP: Domain dari ekspresi SOP terdiri dari variabel-variabel A, B, C, dan D. Ini adalah variabel yang digunakan dalam ekspresi logika kita.
- Representasi Biner dari Istilah Produk Standar: Ekspresi SOP adalah deretan istilah produk yang mewakili logika kita. Sebuah istilah produk dalam SOP bernilai 1 jika dan hanya jika setidaknya satu dari istilah-istilah tersebut bernilai 1. Ini adalah prinsip penting dalam konsep ini.
Latihan
Sekarang, mari kita praktikkan konsep ini dengan mengonversi ekspresi berikut ke dalam bentuk Standar Produk Penjumlahan.
Ekspresi yang diberikan adalah: WXY + XYZ
Langkah Pertama: Mari kita kelompokkan istilah-istilah ini dalam bentuk SOP. Itu berarti kita akan mengambil bagian-bagian yang mewakili logika dan menyusunnya menjadi produk penjumlahan. Hasilnya adalah sebagai berikut: WXY + XYZ. Ini adalah ekspresi SOP yang menggambarkan logika tertentu dengan menggunakan produk penjumlahan.
Tentukan Nilai Biner dari Ekspresi SOP: Selanjutnya, mari kita tentukan nilai-nilai biner dari ekspresi SOP ini sehingga ekspresi ini bernilai 1. Ini bisa dilakukan dengan mengevaluasi masing-masing istilah. Untuk ekspresi ini, nilai-nilai binernya akan bergantung pada nilai-nilai variabel W, X, Y, dan Z. Anda perlu menentukan kombinasi nilai-nilai yang membuat ekspresi ini bernilai 1.
Apakah Ini Sebuah Ekspresi Standar SOP?: Ya, ini adalah ekspresi standar SOP, karena itu adalah produk penjumlahan dari beberapa istilah. Ekspresi SOP selalu memiliki bentuk ini.
Bentuk Produk dari Jumlah (POS) merupakan metode ekspresi logika dalam sistem digital yang mencakup penjumlahan dari dua atau lebih suku yang dikalikan bersama.
Contohnya adalah: Dalam ekspresi POS, terdapat kemungkinan term yang hanya mengandung satu variabel tunggal. Selain itu, ekspresi POS juga bisa terdiri dari beberapa term, atau bahkan tidak memiliki term sama sekali.
Implementasi Ekspresi POS
Implementasi dari ekspresi POS dapat dilakukan dengan menggunakan gerbang logika AND pada keluaran dari dua atau lebih gerbang logika OR. Sementara itu, suku-suku tersebut dihasilkan melalui operasi OR, sedangkan hasil perkalian dari dua atau lebih suku dihasilkan melalui operasi AND.
Dengan demikian, ekspresi POS dapat diimplementasikan melalui logika di mana keluaran dari sejumlah ( jumlah dari suku dalam ekspresi) gerbang logika OR dihubungkan ke input dari sebuah gerbang logika AND.
Konversi sebuah Jumlah Istilah ke POS Standar
Setiap istilah jumlah dalam ungkapan POS yang tidak mengandung semua variabel dalam domain dapat diperluas ke bentuk standar untuk memasukkan semua variabel dalam domain dan komplemennya.
Sebuah ungkapan non-standar POS dikonversi ke dalam bentuk standar menggunakan aturan aljabar Boolean 𝐴. 𝐴 = 0.
- Tambahkan setiap istilah produksi non-standar.
- Sebuah istilah yang berasal dari hasil kali variabel yang hilang/tidak ada dan komplemennya. Hasilnya dalam dua istilah jumlah.
- Ingat: menambahkan 0 ke apa pun tidak mengubah nilai.
Terapkan aturan 𝐴 + 𝐵𝐶 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 + 𝐶).
Ulangi langkah 1 sampai setiap istilah jumlah mengandung semua variabel dalam domain, apakah itu merupakan komplemen atau bukan komplemen.
Contoh Konversikan ungkapan Boolean berikut ke dalam bentuk POS standar. (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)(𝐵 + 𝐶 + 𝐷)(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷) Solusi: domain dari ungkapan POS adalah A, B, C, D. Ambil salah satu istilah, misalnya yang pertama. Istilah tersebut kehilangan variabel D atau D', tambahkan DD' dan terapkan aturan distributif.
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 𝐷 = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + D)(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + D')
Mari kita ubah ekspresi berikut ke dalam bentuk POS (Produk Or Sum) standar!
- (𝐴 + 𝐵 )(𝐵 + 𝐶)
- 𝑋 + 𝑍 𝑌 𝑍
Ekspresi pertama yang perlu kita ubah adalah (𝐴 + 𝐵 )(𝐵 + 𝐶). Dalam rangka untuk mencapai bentuk POS standar, kita harus mengikuti beberapa langkah. Pertama, kita harus menggunakan distribusi (distributive law) untuk mengalikan setiap pasangan variabel dalam tanda kurung.
Langkah 1: (𝐴 + 𝐵 )(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐵 + 𝐵𝐶
Kemudian, kita dapat menggunakan hukum identitas (identity law) untuk menghilangkan 𝐵𝐵 karena 𝐵𝐵 selalu sama dengan 𝐵.
Langkah 2: 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶
Selanjutnya, kita dapat mengelompokkan pasangan variabel yang bisa dijumlahkan bersama, yaitu 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, dan 𝐵𝐶.
Langkah 3: 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶
Terakhir, kita memasukkan ekspresi ini ke dalam bentuk POS standar. Dalam bentuk POS, kita akan menggunakan tanda tambah (+) untuk menggabungkan semua pasangan variabel.
Bentuk POS standar dari §(𝐴 + 𝐵 )(𝐵 + 𝐶) adalah 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶.
Kemudian, kita akan mengubah ekspresi kedua 𝑋 + 𝑍 𝑌 𝑍 ke dalam bentuk POS standar juga.
Langkah 1: 𝑋 + 𝑍 𝑌 𝑍 = 𝑋 + (𝑍 𝑌) 𝑍
Kemudian, kita dapat menggunakan distribusi (distributive law) untuk mengalikan 𝑍 dan 𝑌.
Langkah 2: 𝑋 + (𝑍 𝑌) 𝑍 = 𝑋 + 𝑍²𝑌
Bentuk POS standar dari 𝑋 + 𝑍 𝑌 𝑍 adalah 𝑋 + 𝑍²𝑌.
- (𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷)(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷)(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 )
- (𝑋 + 𝑌 + 𝑍)(𝑋 + 𝑌 + 𝑍)(𝑋 + 𝑌 + 𝑍 )(𝑋 + 𝑌 + 𝑍 )
Berikut ini adalah ekspresi POS yang diberikan:
- (𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷)(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷)(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷)
Dalam rangka menentukan nilai biner dari variabel pada ekspresi POS di atas sehingga ekspresi ini bernilai 0, kita harus melihat setiap kombinasi variabel yang akan menghasilkan hasil 0. Untuk ekspresi ini, kita memiliki empat variabel: A, B, C, dan D.
Kita perlu mencari tahu kombinasi variabel mana yang akan menghasilkan hasil 0. Untuk itu, kita perlu memahami bahwa dalam ekspresi POS, kita mencari kombinasi di mana setidaknya satu elemen dalam setiap tanda kurung menjadi 0. Dengan kata lain, setiap tanda kurung harus memiliki setidaknya satu variabel yang bernilai 0.
Mengingat itu, kita bisa menentukan nilai biner variabel sebagai berikut:
- A = 0 (Untuk memastikan setidaknya satu elemen dalam tanda kurung pertama bernilai 0)
- B = 0 (Untuk memastikan setidaknya satu elemen dalam tanda kurung kedua bernilai 0)
- C = 0 (Untuk memastikan setidaknya satu elemen dalam tanda kurung ketiga bernilai 0)
- D bisa 0 atau 1 (karena dalam tanda kurung terakhir, semua variabel bernilai 0)
Hasil akhirnya adalah: A = 0, B = 0, C = 0, D = 0 atau D = 1.
Kombinasi ini akan membuat ekspresi POS tersebut menjadi 0.
- (𝑋 + 𝑌 + 𝑍)(𝑋 + 𝑌 + 𝑍)(𝑋 + 𝑌 + 𝑍)(𝑋 + 𝑌 + 𝑍)
Sekarang, kita akan menentukan nilai biner dari variabel pada ekspresi POS ini sehingga ekspresi ini bernilai 0. Kita memiliki tiga variabel: X, Y, dan Z.
Kita perlu mencari tahu kombinasi variabel yang akan menghasilkan hasil 0. Untuk itu, kita perlu memahami bahwa dalam ekspresi POS, kita mencari kombinasi di mana setidaknya satu elemen dalam setiap tanda kurung menjadi 0. Dengan kata lain, setiap tanda kurung harus memiliki setidaknya satu variabel yang bernilai 0.
Mengingat itu, kita bisa menentukan nilai biner variabel sebagai berikut:
- X = 0 (Untuk memastikan setidaknya satu elemen dalam tanda kurung pertama bernilai 0)
- Y = 0 (Untuk memastikan setidaknya satu elemen dalam tanda kurung kedua bernilai 0)
- Z = 0 (Untuk memastikan setidaknya satu elemen dalam tanda kurung ketiga bernilai 0)
Hasil akhirnya adalah: X = 0, Y = 0, Z = 0.
Kombinasi ini akan membuat ekspresi POS tersebut menjadi 0.
Konversi dari SOP Standar ke POS Standar
Dalam dunia aljabar Boolean, konversi SOP (Sum of Products) standar ke POS (Product of Sums) standar adalah sebuah proses yang penting. SOP standar menggambarkan suatu ekspresi logika dalam bentuk kombinasi produk term, sedangkan POS standar menggambarkan ekspresi yang lebih intuitif dalam bentuk kombinasi sum term. Untuk mengkonversi dari SOP standar ke POS standar, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:
Evaluasi Setiap Product Term pada Ekspresi SOP: Pertama, kita harus mengevaluasi setiap product term dalam ekspresi SOP. Setiap product term adalah kombinasi variabel input yang dihubungkan melalui operasi AND. Misalnya, jika kita memiliki ekspresi SOP seperti A'B'C + AB'D + ABCD, kita akan mengevaluasi masing-masing product term, seperti A'B'C, AB'D, dan ABCD.
Tentukan Semua Bilangan Biner yang Tidak Termasuk dalam Langkah 1: Langkah selanjutnya adalah menentukan semua bilangan biner yang tidak muncul dalam langkah pertama. Ini berarti kita mencari kombinasi variabel input yang tidak muncul dalam product term yang sudah dievaluasi. Misalnya, dalam ekspresi SOP di atas, bilangan biner yang tidak termasuk dalam product term adalah A'C', A'D, dan A'B'D.
Tuliskan Sum Term yang Setara: Setelah kita mengidentifikasi bilangan biner yang tidak termasuk dalam product term, kita harus menuliskan sum term yang setara dengan masing-masing bilangan biner dari langkah 2. Sum term adalah kombinasi variabel input yang dihubungkan melalui operasi OR. Misalnya, untuk bilangan biner A'C', kita akan menuliskan sum term A + C. Proses ini akan menghasilkan ekspresi POS standar yang setara dengan ekspresi SOP standar.
Perlu diingat bahwa langkah-langkah di atas dapat dilakukan secara sebaliknya, yaitu dari POS ke SOP, dengan cara yang serupa.
Posting Komentar