Pengantar Logika : Kerancuan Berpikir dan Jenisnya

Sistem Digital : Aljabar Boolean, Hukum Aljabar Boolean, dan Manipulasi Boolean, dan Contoh Soal

Contemporary Multilevel Machines

Level terendah adalah level digital logic, objek yang menarik di level ini adalah gates. Setiap gate memiliki satu atau lebih digital inputs (masukan digital) yang me- representasikan 0 atau 1).

Masukan tersebut akan dihitung dan menjadi output dengan beberapa operasi/fungsi seperti OR, AND, dst.

Aljabar Boolean

Operasi komputer didasarkan pada penyimpanan dan pemrosesan data biner. Elemen penyimpanan (exist pada satu dari dua state) dan circuit dapat mengoperasikan data biner membentuk berbagai fungsi computer

Implementasi elemen storage dan circuit dalam digital logic, khususnya combinational dan sequential circuit.

Boolean Algebra is a Mathematical discipline used to design and analyze the behavior of the digital circuitry in digital computers and other digital systems. Named after George Boole which he is an English mathematician. He proposed basic principles of the algebra in 1854.

Later, Claude Shannon suggested Boolean algebra could be used to solve problems in relay- switching circuit design

Is a convenient tool :

Analysis 

It is an economical way of describing the function of digital circuitry

Design 

Given a desired function, Boolean algebra can be applied to develop a simplified implementation of that function

Boolean Variables and Operations

Menggunakan variable dan operasi

• Logic
• A variable may take on the value 1 (TRUE) or 0 (FALSE)
• Basic logical operations are AND, OR, and NOT

AND

• Yields true (binary value 1) if and only if both of its operands are true
• In the absence of parentheses the AND operation takes precedence over the OR operation
• When no ambiguity will occur the AND operation is represented by simple concatenation instead of the dot operator

OR

• Yields true if either or both of its operands are true

NOT

• Inverts the value of its operand

Simbol Operator

Simbol untuk mepresentasikan operasi 

• AND = . 
• OR = + 
• NOT = overbar

Contoh 

• A AND B = A . B 
• A OR B = A + B 
• NOT A = 𝐴 

Evaluasi ekspresi Boolean

1. 0 + 0 + 0 + 0 =
2. 0 + 0 + 0 + 1 =
3. 1 + 1 + 1 + 1 =
4. 1.1 + 0.0 + 1 =
5. 1.0.0.1 =
6. 1.0 + 1.0 + 0.1 + 0.1 =

Contoh

Jika B = 0 dan C = 1; A = 1 

1. 𝐷 = 𝐴 + (𝐵 . 𝐶) ? 
2. 𝐷 = (𝐴 + 𝐵 ) . 𝐶 ? 
3. 𝐷 = 𝐴 + 𝐵 . 𝐵 + 𝐶 ? 
4. 𝐷 = 𝐵 + 𝐶 + 𝐴. 𝐵 ?

Operasi Boolean dari dua variable

Truth Tables / Tabel Kebenaran

XOR (exclusive –OR) operand logic = 1 jika dan hanya jika salah satu operand = 1 

NAND : complement (NOT) dari fungsi AND 

NOR : complement (NOT) dari fungsi OR

A NAND B : NOT (A AND B) = AB 

A NOR B : NOT (A OR B) = A + B

Basic Identities of Boolean Algebra

Contoh

Terapkan teorema De Morgan pada ekspresi berikut :

( 𝑋𝑌𝑍 )' = ?

𝑋' + 𝑌' + 𝑍' = ?

((A+BC’)’ + D(E+F’)’)’ =

Truth Tables / Tabel Kebenaran

Verifikasi Teorema DeMorgan

Teorema DeMorgan untuk 3 atau lebih variabel

Truth Table

A + AB = A

Buat Truth Table dari dari fungsi Boolean berikut :

X = AB + C’D

Contoh Persamaan/Fungsi Aljabar Boolean

• X + X’ .Y = (X + X’).(X +Y) = X+Y
• X .(X’+Y) = X.X’ + X.Y = X.Y
• X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y + X’.Z + Y.Z.(X+X’)
• = X.Y + X’.Z + X.Y.Z + X’.Y.Z
• = X.Y.(1+Z) + X’.Z.(1+Y)
• = X.Y + X’.Z

Manipulasi Aljabar Boolean

Aljabar Boolean merupakan tool berguna untuk menyederhanakan rangkaian digital (circuit digital). Perhatikan persamaan Boolean berikut :

Disederhanakan menggunakan operasi dasar aljabar boolean

Sumber

Slide AOK : Aljabar Boolean

http://informatika.unpar.ac.id/