Matriks dan Ruang Vektor : Sifat-sifat Vektor Subruang dan Cara Membuktikannya

Matriks dan Ruang Vektor : Sifat-sifat Vektor Subruang dan Cara Membuktikannya

Subruang

Sebuah vektor dikatakan menjadi vektor subruang apabila W sebagai set vektor dan W adalah subruang dari V dengan memenuhi syarat

u dan v di vektor W, maka u dan v apabila u + v merupakan elemen dari W.
Jika k adalah skalar dan u adalah vektor maka ku merupkana elemen dari W.

Cara Pembuktian

Ambillah sembarang vektor bebas untuk u dan v
Kemudian tambahkan menjadi u + v dalam bentuk vektor
Bandingkanlah dengan vektor W. Apakah masih memuat angka yang sejenis atau tidak.
Ulangi proses untuk ku.

Example 1

1.All vectors of the form (a,0, 0) is a subspace of R^3

2.All vectors of the form (a,b,c) where b=a+c is a subspace of R^3

Is all vectors of the form (a, b, c) where b=a+c+1 a subspace of R^3?

Membangun/Merentang ( Span )

Jika

merupakan subset dari suatu ruang vektor V, maka subruang dari V, katakan W, yang direntang oleh S adalah himpunan semua kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor yang ada di S. Ditulis

Himpunan S dikatakan merentang atau membangun ruang vektor V, jika

, dengan kata lain, setiap vektor yang ada di ruang vektor V dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

Sebagai contoh, himpunan

merentang

, karena setiap vektor

yang ada di

dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di S, yaitu

Himpunan yang merentang suatu ruang vektor tidak bersifat tunggal. Dapat dicek bahwa himpunan

juga merentang

Berikut ini adalah beberapa contoh soal yang berkaitan.

CONTOH 1

Periksa apakah merentang ruang vektor .

PEMBAHASAN

Ambil sebarang

. Tulis

, untuk suatu

Kita harus menentukan apakah

dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

Diperoleh sebuah sistem persamaan linear

Sekarang, kita hanya perlu menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten untuk semua nilai a, b, dan c. Jika sistem persamaan ini konsisten, maka setiap vektor yang ada di

dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

Untuk menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten, kita dapat menggunakan beberapa cara. Jika matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan. Jika determinan dari matriks koefisiennya tidak nol, maka sistem persamaan tersebut konsisten. Sebaliknya, jika determinan matriks koefisiennya bernilai nol, maka sistem persamaan tersebut tidak konsisten. Akan tetapi, jika matriks koefisiennya bukan matriks persegi, maka kita perlu menentukan solusi dari sistem persaman tersebut, misalnya menggunakan eliminasi Gauss.

Karena matriks koefisien dari sistem persamaan di atas merupakan matriks persegi, maka kita bisa menentukan apakah S merentang V dengan melihat nilai determinannya. Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

Karena nilai determinannya nol, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan S tidak merentang

Alternatif Lain dengan metode OBE / Baris Eselon

Setelah mendapatkan sistem persamaan linear di atas, kita akan menguji apakah sistem persamaan linear tersebut konsisten untuk semua nilai a, b, dan c dengan menentukan solusinya terlebih dahulu.

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear tersebut adalah

Kita akan mengubah matriks di atas ke dalam bentuk eselon baris ( OBE ).

Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua, dan (-2) kali baris pertama ke baris ketiga.

Kalikan baris kedua dengan (-1).

Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.

Diperoleh

Sistem persamaan ini mempunyai solusi hanya jika

. Dengan demikian, sistem persamaan linear ini tidak konsisten untuk semua nilai a, b, dan c.

Dengan demikian, himpunan S tidak merentang

Catatan Penting

OBE memakan waktu lebih banyak dan dibutuhkan ketelitian untuk melakukannya. Jadi sering-seringlah berlatih
Cara Matriks Determinan hanya berjalan jika jumlah variabel vektor dan koordinat vektor bernilai sama atau membentuk matriks persegi ( 3x3, 4x4, 5x5, nxn ).
Tidak termasuk dengan variabel hasil dan berupa variabel yang mengandung k1, k2, k3, kn untuk cara determinan.
Jika tidak berbentuk matriks persegi, gunakanlah OBE

CONTOH 2

Diketahui

, dan

. Periksa apakah

merentang

PEMBAHASAN

Ambil sebarang

. Tulis

, untuk suatu

Kita harus menentukan apakah

dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

Diperoleh

Karena matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan untuk mengetahui apakah sistem persamaan linear ini konsisten.

Matriks koefisiennya adalah

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

Karena nilai determinannya tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linear tersebut konsisten, yang berakibat himpunan S merentang

Alternatif dengan OBE

Setelah memperoleh sistem persamaan linear di atas, kita tentukan solusinya menggunakan eliminasi Gauss. Kita ubah matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut menjadi bentuk eselon baris.

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut adalah

Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua dan baris ketiga.

Kalikan baris kedua dan baris ketiga dengan (-1).

Diperoleh

Dengan substitusi balik, diperoleh

Karena selalu ada solusi, berapapun nilai a, b, dan c, maka sistem persamaan linear ini konsisten. Dengan demikian, himpunan S merentang

Kombinasi Linier

Kombinasi Vektor-Vektor

Definisi: Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linear dari vektoe-vektor v1,v2, … vr jika dapat dinyatakan dalam bentuk

w = k1v1 + k2v2, … krvr

dengan k1, k2 … kr adalah skalar.

Contoh 1

Tinjau vektor u = (1,2,-1) dan v = (6,4,2) dalam R3. Tunjukan bahwa w = (9,2,7) adalah kombinasi linear dari u dan v dan bahwa w’= (4,-1,8) bukanlah kombinasi linear dari u dan v.

Penyelesaian

Agar w menjadi suatu kombinasi linear dari u dan v, haruslah ada skalar k1 dan k2 sedemikian sehingga w = k1v1+k2v2 yaitu

(9,2,7) = k1(1,2,-1) + k2(6,4,2)

atau

(9,2,7) = ( k1+6k2 , 2k1 + 4k2 ,-k1 + 2k2 )

Dengan menyamakan komponen-komponen yang berpadanan, kita akan mendapatkan

k1 + 6k2 = 9

2k1 + 4k2 = 2

–k1 + 2k2 = 7

Menyelesaikan sistem ini akan menghasilkan k1= -3, k2 = 2, sehingga

w = -3u+2v

Demikian juga, agar w’ menjadi suatu kombinasi linear dari u dan v, harus ada skalar k1 dan k2 sedemikian sehingga w’ = k1u + k2v yaitu

(4,-1,8) = k1(1,2,-1) + k2(6,4,2)

atau

(4,-1,8) = ( k1 + 6k2, 2k1 +4k2, -k1 + 2k2)

Dengan menyamakan komponen-komponen yang berpadanan, kita akan mendapatkan

k1 + 6k2 = 4

2k1 + 4k2 = -1

–k1 + 2k2 = 8

Sistem persamaan ini tidak konsisten sehingga tidak ada skalar k1 dan k2 yang memenuhinya. Akibatnya, w’ bukanlah suatu kombinasi linear dari u dan v.

Vektor Ruang Bebas

Vektor dikatakan bebas apabila dalam representasi linier k1, k2, k3, ...,kn bernilai 0 dengan persamaan tersebut berujung = 0 tetapi tidak bernilai det(A) = 0.

k_1 v_1+k_2 v_2+…+k_r v_r=0

Cara Pembuktian

1. Cari determinan yang sebelumnya ubah dahulu representasi linier ke bentuk matriks--ingat determinan akan berjalan jika matriks yang digunakan adalah matriks persegi.

2. Apabila det(A)=0, maka vektor tersebut tidak bebas linier.

3. Cara alternatif lainnya dengan cara OBE matriks yang dibuat pada langkah 1. Cara OBE ini akan mendapatkan nilai k1, k2, kn jika dibutuhkan nilai k1, kn meskipun lebih panjang.