Matriks dan Ruang Vektor : Sifat-sifat Vektor Subruang dan Cara Membuktikannya
Subruang
Sebuah vektor dikatakan menjadi vektor subruang apabila W sebagai set vektor dan W adalah subruang dari V dengan memenuhi syarat
- u dan v di vektor W, maka u dan v apabila u + v merupakan elemen dari W.
- Jika k adalah skalar dan u adalah vektor maka ku merupkana elemen dari W.
Cara Pembuktian
- Ambillah sembarang vektor bebas untuk u dan v
- Kemudian tambahkan menjadi u + v dalam bentuk vektor
- Bandingkanlah dengan vektor W. Apakah masih memuat angka yang sejenis atau tidak.
- Ulangi proses untuk ku.
Example 1
1.All vectors of the form (a,0, 0) is a subspace of R^3
2.All vectors of the form (a,b,c) where b=a+c is a subspace of R^3
Is all vectors of the form (a, b, c) where b=a+c+1 a subspace of R^3?
Membangun/Merentang ( Span )
Jika 
merupakan subset dari suatu ruang vektor V, maka subruang dari V, katakan W, yang direntang oleh S adalah himpunan semua kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor yang ada di S. Ditulis
merupakan subset dari suatu ruang vektor V, maka subruang dari V, katakan W, yang direntang oleh S adalah himpunan semua kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor yang ada di S. Ditulis
Himpunan S dikatakan merentang atau membangun ruang vektor V, jika 
, dengan kata lain, setiap vektor yang ada di ruang vektor V dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.
, dengan kata lain, setiap vektor yang ada di ruang vektor V dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.
Sebagai contoh, himpunan 
merentang 
, karena setiap vektor 
yang ada di dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di S, yaitu
merentang , karena setiap vektor yang ada di dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di S, yaitu
Himpunan yang merentang suatu ruang vektor tidak bersifat tunggal. Dapat dicek bahwa himpunan 
juga merentang .
juga merentang .
Berikut ini adalah beberapa contoh soal yang berkaitan.
CONTOH 1
Periksa apakah 
merentang ruang vektor 
.
merentang ruang vektor .
PEMBAHASAN
Ambil sebarang 
. Tulis 
, untuk suatu 
.
. Tulis , untuk suatu .
Kita harus menentukan apakah 
dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.
dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.
Diperoleh sebuah sistem persamaan linear
Sekarang, kita hanya perlu menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten untuk semua nilai a, b, dan c. Jika sistem persamaan ini konsisten, maka setiap vektor yang ada di dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.
dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.
Untuk menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten, kita dapat menggunakan beberapa cara. Jika matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan. Jika determinan dari matriks koefisiennya tidak nol, maka sistem persamaan tersebut konsisten. Sebaliknya, jika determinan matriks koefisiennya bernilai nol, maka sistem persamaan tersebut tidak konsisten. Akan tetapi, jika matriks koefisiennya bukan matriks persegi, maka kita perlu menentukan solusi dari sistem persaman tersebut, misalnya menggunakan eliminasi Gauss.
Karena matriks koefisien dari sistem persamaan di atas merupakan matriks persegi, maka kita bisa menentukan apakah S merentang V dengan melihat nilai determinannya. Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah
Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.
Karena nilai determinannya nol, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan S tidak merentang .
.
Alternatif Lain dengan metode OBE / Baris Eselon
Setelah mendapatkan sistem persamaan linear di atas, kita akan menguji apakah sistem persamaan linear tersebut konsisten untuk semua nilai a, b, dan c dengan menentukan solusinya terlebih dahulu.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear tersebut adalah
Kita akan mengubah matriks di atas ke dalam bentuk eselon baris ( OBE ).
Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua, dan (-2) kali baris pertama ke baris ketiga.
Kalikan baris kedua dengan (-1).
Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.
Diperoleh
Sistem persamaan ini mempunyai solusi hanya jika 
. Dengan demikian, sistem persamaan linear ini tidak konsisten untuk semua nilai a, b, dan c.
. Dengan demikian, sistem persamaan linear ini tidak konsisten untuk semua nilai a, b, dan c.
Dengan demikian, himpunan S tidak merentang .
.
Catatan Penting
- OBE memakan waktu lebih banyak dan dibutuhkan ketelitian untuk melakukannya. Jadi sering-seringlah berlatih
- Cara Matriks Determinan hanya berjalan jika jumlah variabel vektor dan koordinat vektor bernilai sama atau membentuk matriks persegi ( 3x3, 4x4, 5x5, nxn ).
- Tidak termasuk dengan variabel hasil dan berupa variabel yang mengandung k1, k2, k3, kn untuk cara determinan.
- Jika tidak berbentuk matriks persegi, gunakanlah OBE
CONTOH 2
Diketahui 
, 
, dan 
. Periksa apakah 
merentang 
, , dan . Periksa apakah merentang
PEMBAHASAN
Ambil sebarang 
. Tulis 
, untuk suatu .
. Tulis , untuk suatu .
Kita harus menentukan apakah 
dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.
dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.
Diperoleh
Karena matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan untuk mengetahui apakah sistem persamaan linear ini konsisten.
Matriks koefisiennya adalah
Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.
Karena nilai determinannya tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linear tersebut konsisten, yang berakibat himpunan S merentang .
.
Alternatif dengan OBE
Setelah memperoleh sistem persamaan linear di atas, kita tentukan solusinya menggunakan eliminasi Gauss. Kita ubah matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut menjadi bentuk eselon baris.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut adalah
Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua dan baris ketiga.
Kalikan baris kedua dan baris ketiga dengan (-1).
Diperoleh
Dengan substitusi balik, diperoleh
Karena selalu ada solusi, berapapun nilai a, b, dan c, maka sistem persamaan linear ini konsisten. Dengan demikian, himpunan S merentang .
.
Kombinasi Linier
Kombinasi Vektor-Vektor
Definisi: Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linear dari vektoe-vektor v1,v2, … vr jika dapat dinyatakan dalam bentuk
w = k1v1 + k2v2, … krvr
dengan k1, k2 … kr adalah skalar.
Contoh 1
Tinjau vektor u = (1,2,-1) dan v = (6,4,2) dalam R3. Tunjukan bahwa w = (9,2,7) adalah kombinasi linear dari u dan v dan bahwa w’= (4,-1,8) bukanlah kombinasi linear dari u dan v.
Penyelesaian
Agar w menjadi suatu kombinasi linear dari u dan v, haruslah ada skalar k1 dan k2 sedemikian sehingga w = k1v1+k2v2 yaitu
(9,2,7) = k1(1,2,-1) + k2(6,4,2)
atau
(9,2,7) = ( k1+6k2 , 2k1 + 4k2 ,-k1 + 2k2 )
Dengan menyamakan komponen-komponen yang berpadanan, kita akan mendapatkan
k1 + 6k2 = 9
2k1 + 4k2 = 2
–k1 + 2k2 = 7
Menyelesaikan sistem ini akan menghasilkan k1= -3, k2 = 2, sehingga
w = -3u+2v
Demikian juga, agar w’ menjadi suatu kombinasi linear dari u dan v, harus ada skalar k1 dan k2 sedemikian sehingga w’ = k1u + k2v yaitu
(4,-1,8) = k1(1,2,-1) + k2(6,4,2)
atau
(4,-1,8) = ( k1 + 6k2, 2k1 +4k2, -k1 + 2k2)
Dengan menyamakan komponen-komponen yang berpadanan, kita akan mendapatkan
k1 + 6k2 = 4
2k1 + 4k2 = -1
–k1 + 2k2 = 8
Sistem persamaan ini tidak konsisten sehingga tidak ada skalar k1 dan k2 yang memenuhinya. Akibatnya, w’ bukanlah suatu kombinasi linear dari u dan v.
Vektor Ruang Bebas
Vektor dikatakan bebas apabila dalam representasi linier k1, k2, k3, ...,kn bernilai 0 dengan persamaan tersebut berujung = 0 tetapi tidak bernilai det(A) = 0.
k_1 v_1+k_2 v_2+…+k_r v_r=0
Cara Pembuktian
1. Cari determinan yang sebelumnya ubah dahulu representasi linier ke bentuk matriks--ingat determinan akan berjalan jika matriks yang digunakan adalah matriks persegi.
2. Apabila det(A)=0, maka vektor tersebut tidak bebas linier.
3. Cara alternatif lainnya dengan cara OBE matriks yang dibuat pada langkah 1. Cara OBE ini akan mendapatkan nilai k1, k2, kn jika dibutuhkan nilai k1, kn meskipun lebih panjang.
Sumber
Slide MRV : Sifat Subruang Vektor
Posting Komentar