Matematika Diskrit : Relasi, Sifat Relasi, dan Contoh Soal

Matematika Diskrit : Jenis-Jenis Himpunan dan Contoh Soal

Himpunan kosong

Himpunan yang tidak memiliki satupun anggota atau himpunan dengan kardinal = 0

Notasi:{} atau  ∅

Contoh:

• E = {x|x < x}, maka |E| = 0 
• P = {orang Indonesia yang pernah pergi ke bulan} 
• A = {himpunan bilangan positif kurang dari 0}

Himpunan bagian (subset) 

Himpunan A adalah subset dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota B.

B disebut superset dari A

Notasi: A ⊆ B

Contoh: 

• {1,2,3} ⊆ {1,2,3,4,5} 
• N ⊆ Z

Teorema subset

Untuk sembarang himpunan A:

• A adalah subset dari A 
• Himpunan kosong adalah subset dari A 
• Jika A ⊆ B dan B ⊆ C maka A ⊆ C 

Himpunan Bagian Sebenarnya (proper set)

Jika A adalah subset dari B namun A ≠ B, maka A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper set)

dari B (dinotasikan A ⊂ B)

Latihan 1

Misalkan X = {1,2,5} dan Z = {1,2,5,7,8}.

Tentukan semua kemungkinan suatu himpunan Y sedemikian hingga X ⊂ Y dan Y ⊂ Z !

Himpunan yang sama 

Himpunan A sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya memiliki anggota yang sama

Notasi: A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A

Contoh:

• A = {1,2,3} dan B = {3,1,2} maka A = B 
• A = {3,2,2,3} dan B = {2,3} maka A = B

Ketentuan:

• Urutan anggota himpunan tidak berpengaruh, sehingga {1,2,3} = {3,1,2} 
• Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua himpunan, sehingga {1,2,3} = {1,2,3,2,1} 
• Untuk himpunan A,B, dan C, berlaku aksioma berikut: 
• A=A, B=B, dan C=C 
• Jika A=B, maka B=A 
• Jika A=B dan B=C, maka A=C 

Himpunan yang ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama

Notasi: A ~ B ↔ |A|=|B|

Contoh:

• A = {1,2,3} dan B = {a,b,c} maka A ~ B

Himpunan saling lepas 

Himpunan A dan B saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama

Notasi: A // B

Contoh:

• A = {kuda, tikus}dan B = {1,3,4}, maka A dan B hubungannya A // B

Himpunan kuasa (power set) 

Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Notasi: P(A) atau 2^A

Contoh:

• A = {1,2} maka P(A) = {∅ , {1}, {2}, {1,2}} 
• P(∅) = { ∅ , { ∅ }}

Latihan 2

Jika A = {1,2,3} tentukan P(A) !

Latihan 3

Latihan 4