Matematika Diskrit : Relasi, Sifat Relasi, dan Contoh Soal

Matematika Diskrit : Barisan dan Deret dengan Contoh Soal

Barisan

Definisi 

Barisan adalah fungsi yang memetakan himpunan bilangan bulat, biasanya berupa {1, 2, 3, …} atau {0,1, 2, …}, ke suatu himpunan S. Bayangan dari suatu bilangan bulat n dilambangkan dengan an, dengan an disebut suku.

Contoh

Diberikan sebuah barisan {an} dengan

maka barisan ini memiliki suku a1, a2, a3, …, yaitu

  

Latihan 1

Tentukan 5 suku pertama barisan-barisan berikut :

• an = n+1 
• an = n^2

Barisan Geometri

Definisi 

Barisan geometri adalah barisan dengan bentuk a, ar, ar2, ar3, …, arn, … dengan a adalah suku pertama dan r adalah rasio yang berupa bilangan riil. 

Rumus Mencari Rasio 

Kalau sudah diketahui   dan , sekarang pelajari rumus suku ke – n () dan juga rumus jumlah n suku yang pertama ()

Rumus Mencari Un

Untuk mencari suku ke n pada barisan dan deret geometri, gunakan rumus berikut ini

Contoh

Rumus Mencari Sn
adalah jumlah suku ke n pada barisan dan deret. Bagaimana cara mencari  pada barisan dan deret geometri ?

Contoh :

Selanjutnya mencari  dengan rumus berikut

Contoh 

{cn} dengan cn = 2.5n adalah barisan geometri dengan a = 2 dan r=5, yang suku-sukunya adalah 2, 10, 50, 250, …

Barisan Aritmatika

Definisi 

Barisan aritmatika adalah barisan dengan bentuk a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+nd, … dengan a adalah term pertama dan d adalah beda

Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmatika

Setiap suku barisan aritmatika merupakan hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda. 

U1 = a

U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + 2b
U4 = U3 + b = a + 3b
...

Un = Un-1 + b = a + (n - 1)b

Persamaan terakhir diatas sering disebut dengan rumus suku ke-n barisan aritmatika, yaitu :

Un = a + (n - 1)b

Contoh

{bn} dengan bn = 1 + n.3 adalah barisan aritmatika dengan a = 1 dan d = 3, yang suku-sukunya adalah 1, 4, 7, …

Contoh Tabel Barisan Khusus

Latihan 2

Dari barisan berikut, manakah yang merupakan barisan geometri, dan manakah yang merupakan barisan aritmatika? 

• 2, 4, 8, 16, … 
• 1, 4, 7, 10, … 
• 1, -1, 1, -1, … 
• 5, 9, 13, 17, … 

Deret

Penjumlahan suku-suku dalam sebuah barisan 

Notasi

Contoh

Hasil penjumlahan

Deret Geometri

Teorema

Contoh

Diberikan suatu deret geometri 2 + 6 + 18 + 54 + … 

Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret ini ? 

Didapat bahwa a=2, r=3, dan n=9. Maka:

Beberapa Rumus Penjumlahan Deret

Latihan 3

Barisan dan Deret Tak Hingga

Barisan dan deret tak hingga adalah susunan bilangan yang terurut sesuai denganurutan bilangan asli, tepatnya suatu barisan tak terhinggaadalah sebuah fungsi yang daerah asalnya adalah himpunan bilangan asli.

Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret geometri tak hingga divergen adalah suatu deret yang nilai bilangannya semakin membesar dan tidak bisa dihitung jumlahnya.

Contoh

1, 3, 9, 27, 81, …………… 

Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Deret geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di mana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat dihitung jumlahnya.

Contoh

Menghitung Barisan dan Deret Tak Hingga

Sebelum masuk ke rumus, ada syarat terlebih dahulu jika kamu bertemu dengan deret geometri tak hingga konvergen, yaitu rasionya atau pengalinya harus antara -1 sampai 1 (-1 > r > 1) dan ini berlaku untuk negatif dan positif.

Contohnya jika kita kalikan dengan  

Berikut perhitungannya

Dengan Kesimpulan

Latihan 4

1. Diketahui a,b, dan c adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan b > 0. Jika maka nilai b adalah
2. Diberikan barisan geometri a, a+b, 4a+b+9. Jika a, a+b, dan 4a+b merupakan barisan aritmatika, maka b =
3. Diketahui perbandingan suku pertama dan suku ketiga dari suatu barisan aritmetika adalah 2 : 3. Perbandingan suku pertama dan suku kedua dari barisan tersebut adalah..
4. Jika adalah barisan geometri yang memenuhi , dan , maka
5. Hasil bagi suku pertama oleh suku ke-3 suatu barisan aritmetika adalah . Jika suku ke-5 barisan tersebut adalah 12, maka suku ke-7 adalah ….