Statistika : Random Variabel Kontinu
Motivasi
Mesin X adalah mesin pembuat pensil. Mesin X selalu memotong kayu dengan panjang 10 cm hingga 11 cm untuk sebuah pensil. Peluang pensil untuk memiliki panjang 10 sama dengan peluang pensil memiliki ukuran 11 dan sama juga dengan semua ukuran lain di rentang 10 s.d 11.
Berapakah peluang pensil berukuran 11 cm ?
Bagaiamana cara menghitung peluang ??
Ide :
- Hitung peluang untuk interval (fungsi kepadatan peluang (pdf))
- Peluang dapat dinyatakan sebagai area di bawah kurva
Probability Density Function
Lambang: f(x) (untuk random variabel X). Bersifat Non-negative. Area di bawah fungsi dengan suatu interval adalah peluang X ada di interval tersebut.
Total area di sepanjang sb-x adalah 1
Contoh 1
Lamanya (dalam jam) sebuah komputer dapat digunakan sebelum akhirnya rusak dinyatakan dengan X. X adalah random variabel kontinu dengan pdf ( dalam jam ):
Berapakah peluang :
- Kompuer rusak dalam rentang waktu 50 hingga 150 jam?
- Komputer dapat berfungsi dalam waktu kurang dari 100 jam?
Contoh 2
Mesin pemotong pensil selalu menghasilkan pensil dengan Panjang 10 hingga 11. Panjang pensil memiliki distribusi peluang dengan pdf:
- Berapakah peluang sebuah pensil memiliki panjang minimal 10.3 ?
- Berapa rata-rata panjang pensil yang dihasilkan oleh mesin tersebut ?
Berapa variansi panjang pensil yang dihasilkan oleh mesin tersebut ?
Random Variabel Uniform
Definisi
X adalah random variabel. Jika peluang X sama untuk setiap titik di interval (α,β), maka X memiliki distribusi uniform.
Fungsi Distribusi
Contoh
Waktu kedatangan bus pertama di sebuah stasiun selalu di rentang waktu 10 hingga 10:30. Peluang bus tiba di stasiun pada rentang waktu 10 hingga 10:30 berdistribusi uniform.
- Tentukan pdf untuk waktu kedatangan bus
- Jika kamu tiba pada pukul 10:05, berapa peluang kamu sudah ketinggalan bus pertama tersebut?
- Jika kamu tiba pada pukul 10:00, berapa peluang kamu harus menunggu minimal 10 menit?
- Jika kamu selalu tiba pada pukul 10 di halte bus setiap hari, berapa rata-rata waktu yang kamu butuhkan untuk menunggu?
Expected Value and Variansi
Jika X ~ uniform( α,β ) :
Random Variabel Normal
Motivasi
Sebuah kelas terdiri dari 40 pria dewasa dari Indonesia. Kira-kira berapakah rata-rata tinggi ke-40 pria tersebut ? Standar deviasi ?
Jika dipilih seseorang secara acak :
Berapa peluang orang tersebut memiliki tinggi di interval 150 hingga 160 ?
Apakah sama dengan peluang orang tersebut memiliki tinggi di interval 170 hingga 180 ?
Jika
X memiliki peluang paling tinggi di nilai rata-ratanya. Peluang X di sebelah kiri dan kanan rata-ratanya sama
Maka
Contoh Kasus
Banyak fenomena/kejadian yang “mengikuti” distribusi normal
Contoh:
- Tinggi badan pria/wanita di sebuah negara
- Berat badan pria/wanita di sebuah negara
- Kecepatan gerak molekul?
- Kesalahan yang terjadi dalam sebuah pengukuran
Probability density function :
Distribusi Normal Baku
Transformasi Normal → Normal Baku
Contoh
X adalah random variabel yang berdistribusi normal dengan rata-rata 5 dan variansi 4. Tentukan:
Karena Normal simetri :
Contoh 2
Sebuah penelitian di USA mendapati bahwa penggunaan bahan bakar untuk mobil “X” berdistribusi normal. Penggunaan bahan bakar untuk mobil “X” memiliki rata-rata 35.5 mil per gallon (mpg). Penggunaan bahan bakar untuk mobil “X” memiliki standard deviasi 4.5 mil per gallon (mpg)
Berapa persen mobil tipe “X” yang ukuran bahan bakarnya adalah 40 mpg atau lebih ?
Contoh 3
Tinggi badan manusia dapat dimodelkan sebagai random variabel yang berdistribusi normal. Rata-rata tinggi pria di Amerika adalah 69.5 inchi. Standard deviasi dari pria di Amerika adalah 3.5 inchi
- Berapa proporsi pria yang lebih tinggi dari 72 inchi?
- Jika dipilih seorang pria secara random, berapa peluang pria yang terpilih memiliki tinggi di antara 68 inchi hingga 73 inchi?
- Pada interval berapakah tinggi dari 95% orang Amerika berada?
Menghampiri Distribusi Binomial dengan Distribusi Normal
Jika n besar dan tidak bisa dihampiri oleh distribusi Poisson :
Contoh 1
Sebuah koin yang fair dilempar sebanyak 40 kali. X adalah banyaknya kemunculan head.
Berapa peluang X=20 ?
Cobalah hitung dengan menggunakan binomial dan menggunakan normal
Contoh 2
Sebuah iklan dari perusahaan coklat M&M menyatakan bahwa rata-rata persentase coklat M&M yang berwarna pink dalam sebuah kemasan adalah 13%. Misalkan Siti membeli satu kantong coklat M&M yang berisi 55 butir coklat.
- Berapakah peluang persentase dari coklat berwarna pink dari coklat yang dibeli oleh Siti kurang dari 20%?
- Berapa peluang persentase coklat berwarna pink dari coklat yang dibeli Siti lebih besar dari 35%?
Sumber
Slide Statkom : Random Variabel Continu
Posting Komentar