Matematika Diskrit : Relasi, Sifat Relasi, dan Contoh Soal

Statistika : Peluang, Permutasi, Kombinasi, dan Contoh Soal

Latar Belakang

Restoran “Mawar” mengeluarkan menu baru: “nasi mawar”. Harga menu tersebut cukup mahal. Tetapi langsung viral di sosial media.

Kamu ingin mencoba, tapi takut rasanya tidak sesuai harganya. Kamu bertanya kepada 4 orang temanmu yang selama ini seleranya mirip denganmu yang sudah mencoba menu tersebut. Dari 4 orang, 3 orang berkata menu tersebut tidak enak.

Apakah kamu akan tetap memutuskan untuk mencoba ?

Events and The Sample Space

Eksperimen ( Percobaan )

Eksperimen (percobaan) : Proses pengukuran

Contoh : 

• Mencatat nilai akhir mata kuliah statistika 
• Melempar sebuah koin dan mencatat bagian koin yang menghadap ke atas 
• Melempar sebuah dadu dan mencatat mata dadu yang muncul

Ruang Sampel

Ruang sampel : Himpunan keluaran yang mungkin terjadi dalam sebuah percobaan

Contoh : 

• Mencatat nilai akhir mata kuliah statistika 
• 0 s/d 100 
• Melempar sebuah koin dan mencatat bagian koin yang menghadap ke atas 
• {head, tail} 
• Melempar sebuah dadu dan mencatat mata dadu yang muncul 
• {1,2,3,4,5,6}

Event ( Kejadian )

Eksperimen : pelempar sebuah dadu

Event A (kejadian A) : Mata dadu yang keluar adalah bilangan ganjil

A={1, 3, 5}

Event B : Mata dadu yang keluar kurang dari 4

B={1, 2, 3}

Simple event : 1 kejadian yang ada di ruang sampel

Contoh: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} → simple event: 

• Event 1: 1 
• Event 2: 2
• Event 3: 3 
• Event 4: 4
• Event 5: 5 
• Event 6: 6

Contoh 1

Seorang tenaga medis melakukan pencatatan golongan darah dan rhesus pada pasien-pasiennya.

• Tentukan simpel event dari percobaan tersebut! 
• Tentukan ruang sampel dari percobaan tersebut! 
• Tentukan isi himpunan kejadian saat rhesusnya positif! 

Dilakukan pelemparan dua buah dadu dan ingin mencatat mata dadu yang muncul

• Tentukan simpel event dari percobaan tersebut! 
• Tentukan ruang sampel dari percobaan tersebut! 
• Tentukan isi himpunan kejadian saat setidaknya ada satu mata dadunya genap 

Mutually Exclusive ( Saling Lepas )

A dan B adalah event

A dan B saling lepas 

A terjadi → B tidak akan terjadi dan sebaliknya

Menghitung Peluang

Definisi

Peluang kejadian A

Ukuran keyakinan akan terjadinya kejadian A

Contoh :

Kamu ingin mengukur berapa peluang seseorang di Indonesia memiliki golongan darah AB

Ide :

• Kumpulkan sebanyak mungkin orang, 
• Hitung berapa banyak orang yang memiliki golongan darah AB. 
• Perbandingan orang bergolongan darah AB dengan banyaknya orang yang disurvei dapat dipandang sebagai peluang

Peluang kejadian A “mirip” frekuensi relatif

Saat n→∞, frek relatif untuk kejadian A adalah peluang kejadian A

Kamu memiliki sebuah fair koin. Kesempatan kamu untuk mendapatkan head sama dengan tail

• Peluang head = peluang tail = 1/2
• Jika kamu melempar koin 2 kali, apakah kamu pasti mendapatkan 1 head ?
• Jika kamu melempar koin 10 kali, apakah kamu pasti mendapatkan 5 head ?
• Semakin banyak percobaan, maka frek relatif munculnya head semakin mendekati 0.5

Tidak mungkin (sangat membuang waktu) untuk melakukan percobaan sebanyak tak hingga kali. Butuh alternative untuk menghitung peluang

Sifat Peluang

Peluang ada di antara 0 dan 1. Jumlah peluang dari seluruh simple event di ruang sampel S adalah 1

Jika memungkinkan untuk mendaftar semua simple event yang mungkin untuk sebuah percobaan dan masing-masing simple event memiliki peluang yang sama, maka

Dimana

1. n(A)= banyaknya anggota himpunan kejadian A
2. n(S)= banyaknya anggota ruang sampel 

Contoh 1

Dalam sebuah percobaan melempar 2 buah koin. Tentukan peluang hasil pelemparan adalah

• Tepat 1 head dari 2 koin 
• Minimal ada 1 head dari 2 koin 

Jika dua buah dadu dilempar bersamaan, berapa peluang jumlah mata dadu yang keluar adalah 7 ? 

Contoh 2

Proporsi golongan darah A, B, AB, dan O untuk populasi orang di negara X adalah 0.4, 0.11, 0.04, 0.45 sercara berurutan.

Jika dipilih satu orang secara acak dari negara tersebut, berapakah peluang orang tersebut bergolongan darah A atau AB ? 

Contoh 3

Sebuah kotak berisi 3 buah permen yang terdiri dari 1 permen kuning dan 2 permen merah yang memiliki bentuk sama persis.

Jika seseorang mengambil dua buah permen secara acak, berapakah peluang kedua permen adalah merah? 

Langkah-Langkah Menghitung Peluang

Jika masing-masing simple event memiliki peluang yang sama :

1. List semua simple event untuk ruang sampel (n(S)) 
2. Tentukan simple event mana saja yang termasuk dalam event yang ingin dihitung peluangnya (n(A))
3. p(A)=(n(A))/(n(S)) 

Jika simple event tidak memiliki peluang yang sama ?

Jika ruang sampel berukuran besar ?

Butuh mengetahui aturan untuk “berhitung”

Aturan Dasar Berhitung

Aturan mn

Sebuah percobaan terdiri dalam dua tahap. Jika

• Tahap 1 memiliki m kemungkinan dan 
• Untuk masing-masing kemungkinan, tahap kedua memiliki n kemungkinan, dan seterusnya maka 
• Ada total mn kemungkinan untuk percobaan tersebut

Contoh : 

Di sebuah rumah makan, terdapat 2 menu makanan (ikan dan ayam) dan 3 menu minuman (teh, kopi, susu). Seseorang akan memesan 1 menu makanan dan 1 menu minuman, berapakah kemungkinan yang ada ?

Latihan

Di kelas X terdapat 5 orang sebagai kandidat untuk menjadi ketua kelas dan wakil ketua kelas. Ada berapa banyak kemungkinan pemilihan ketua dan wakil ketua yang mungkin terjadi ? 

Perluasan Aturan mn

Sebuah percobaan terdiri dari k tahap. Jika

• Tahap 1 memiliki n_1 kemungkinan dan 
• Untuk masing-masing kemungkinan, tahap kedua memiliki n_2 kemungkinan, 
• … 
• Dan untuk masing-masing kemungkinan, tahap ke-n memiliki n_k kemungkinan, maka 
• Ada total n_1 n_2…n_k kemungkinan untuk percobaan tersebut

Contoh :

• Berapa banyak kemungkinan dari pelemparan tiga buah koin? 
• Seorang supir truk ingin berkendara dari kota A ke kota B lalu ke kota C dan kemudian ke kota D. Dari kota A ke kota B terdapat 3 pilihan jalan. Dari kota B ke kota C terdapat 2 pilihan jalan. Dari kota C ke D terdapat 3 pilihan jalan. Ada berapa banyak kemungkinan rute dari kota A ke kota D yang tersedia ?

Permutasi

Banyaknya cara menyusun r objek dari n objek

Contoh

Sebuah kelas terdiri dari 20 orang. Dari 20 orang tersebut akan dipilih 5 orang untuk diberi kaos dengan nomor 1 sampai 5. Berapakah kemungkinan yang ada? 

Jawab :

Permutasi Berulang

Dimana

• n : banyaknya objek
• n_1 : banyaknya objek 1 yang sama
• n_2 : banyaknya objek 2 yang sama
• …
• n_r : banyaknya objek r yang sama

Contoh

Berapa banyak “kata” atau string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata MISSISSIPPI ? 

S = {M, I, S, S, I, S, S, I, P, P, I} 

• Huruf M = 1 buah (n1) 
• Huruf I = 4 buah (n2) 
• Huruf S = 4 buah (n3) 
• Huruf P = 2 buah (n4) 

n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah

Maka

Tuan Jon memiliki 10 buku dan ingin menyusun buku-buku tersebut ke dalam sebuah barisan di rak buku. 

• Berapa banyak susunan yang mungkin? 
• Jika Tuan Jon hanya ingin menyusun 4 dari 10 buku tersebut, berapa banyak susunan yang mungkin? 
• Dari 10 buku, ada 4 buku Matematika, 3 buku Komputasi, dan 3 buku Teknik. Tuan Jon ingin buku-buku yang memiliki subjek yang sama diletakan saling bersebelahan. Berapa banyak kemungkinan susunan berbeda yang ada ?

Perusahaan “Mawar” memiliki masing-masing satu cabang di 20 kota (kota A, B, …, T). Seorang pegawai di perusahaan tersebut ditugaskan untuk mengunjungi 6 cabang. 

1. Berapa banyak kemungkinan 6 urutan cabang yang akan dikunjungi? (Urutan berbeda untuk pemilihan 6 cabang dianggap kemungkinan berbeda karena akan membutuhkan biaya perjalanan yang berbeda) 
2. Berapa peluang kota A akan terpilih untuk dikunjungi? 
3. Berapa banyak kemungkinan pemilihan 6 cabang yang akan dikunjungi? 

Kombinasi

Banyaknya cara memilih r objek dari n objek

Contoh :

Tuan Jon memiliki 10 buku yang berbeda-beda. Tuan Jon ingin memilih dua buku untuk dibawa di perjalanan. Ada berapa banyak pilihan yang tersedia untuk Tuan Jon ?

Latihan

1. Sebuah system komunikasi terdiri dari 6 antena yang identik. Keenam antena tersebut berada dalam sebuah barisan. Sistem komunikasi akan berjalan dengan baik selama tidak ada dua antena bersebelahan yang rusak.

Diketahui ada tepat dua antenna yang rusak. Berapa peluang system tersebut akan tetap berjalan ?

2. Jika 3 buah bola diambil bersamaan dari sebuah kotak yang berisi 6 bola putih dan 5 bola merah, berapa peluang yang terambil adalah 1 bola putih dan 2 bola merah ?

3. Sebuah komite yang terdisi dari 5 orang dipilih dari sebuah grup yang terdiri dari 6 pria dan 9 wanita. Jika pemilihan terjadi secara random, berapa peluang komite tersebut akan terdiri dari 3 pria dan 2 wanita?

4. Seorang investor memiliki 20 ribu dollar untuk diinvestasikan ke 4 investasi. Masing-masing investasi, 1 unitnya bernilai 1000 dollar.

• Jika 20 ribu dollar tersebut akan diinvestasikan ke 4 investasi yang tersedia (masing-masing investasi minimal 1 unit), berapa banyak kemungkinan strategi investasi yang dapat ia pilih ? 
• Jika tidak semua uangnya harus ia investasikan, berapa banyak kemungkinan strategi yang dapat ia pilih ? 
• Jika tidak semua uangnya harus diinvestasikan dan boleh ada investasi yang ia tidak beli, berapa banyak kemungkin strategi yang dapat ia pilih ?

Sumber

Slide Statkom : Peluang dan Aturan Berhitung

https://wikiwoh.blogspot.com/2018/10/matematika-diskrit-prinsip-inklusi-permutasi-kombinasi-dan-contoh-soal.html

http://informatika.unpar.ac.id/