Matematika Dasar : Turunan, Turunan Sepihak, Turunan Trigonometri, Turunan Implisit, dan Contoh Soal

Matematika Dasar : Turunan, Turunan Sepihak, Turunan Trigonometri, Turunan Implisit, dan Contoh Soal



Turunan di Satu Titik



Arti Geometri turunan fungsi di satu titik. f′(a) adalah gradien garis singgung pada kurva y=f(x) di titik x=a

Definisi :


Contoh I

Misalkan f(x)=x^2-2x. Dengan menggunakan aturan turunan fungsi di satu titik, tentukan f′(1)!

Solusi :


Turunan Sepihak


Misalkan f(x) terdefinisi pada (c,a]. Turunan kiri f di a adalah :




Misalkan f(x) terdefinisi pada [a,b). Turunan kanan f di a adalah :



Teorema Turunan Sepihak

1. f′ (a)=L ↔ f_′ (a)=L=f+′ (a)

2. Jika f′(a) ada maka f kontinu di a

3. Jika f-′ (a) ≠ f+′ (a), maka f′(a) tidak ada. Dengan kata lain, fungsi f tidak terdiferensialkan di x=a


Contoh II

1. Diketahui 


Tentukan : 

  • f′(1) 
  • f′(-2) 
  • f′(0) 

2. Diketahui f(x)=|x|. Apakah f′(0) ada?



Solusi untuk Contoh II no 1

Nilai f′(1) adalah: 



Nilai f′ (-2) adalah:



Nilai f′(0) adalah : 



Karena f-′ (0) = f+′ (0), maka f′ (0)=-2



Aturan Mencari Turunan

Aturan untuk fungsi-fungsi khusus :




Simbol turunan

Jika y = f(x), maka y′ = f′(x) = dy/dx


Latihan 1

Carilah turunan fungsi berikut ini :




Turunan Trigonometri

Beberapa turunan trigonometri :



Latihan 2


Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut :




Turunan ke-n

Dari definisi



dapat diperluas menjadi



atau



dan seterusnya

Latihan 3

1. Tentukan f′′(x) dari fungsi f(x)=x^4+x^3-2 !
2. Tentukan f′′′(x) dari fungsi f(x)=cos⁡(x^2+2) !



Pendiferensialan Implisit ( Turunan Implisit )


Perhatikan fungsi berikut ini :

x^2 y+3y^2+x^2=0 

Untuk fungsi tersebut :
  • Turunannya tidak langsung dapat dicari 
  • Gunakan turunan implisit 
Turunan fungsi terhadap x ditambah turunan fungsi terhadap y (saat fungsi diturunkan terhadap y, kali turunannya dengan y′)


Contoh

1. Tentukan y′ dari 2x^2 y+y=0!

Solusi :


2.
Tentukan y′ dari x^2+5y^2=x+9!

Solusi :



Latihan 4


Tentukan y′ dari :
































































































1 Komentar

Posting Komentar

Lebih baru Lebih lama