Logika Informatika : Sifat Kalimat, Pohon Semantik, dan Pengujian 2 Kalimat, beserta Contoh Soal

Matematika Dasar : Turunan, Turunan Sepihak, Turunan Trigonometri, Turunan Implisit, dan Contoh Soal

Turunan di Satu Titik

Arti Geometri turunan fungsi di satu titik. f′(a) adalah gradien garis singgung pada kurva y=f(x) di titik x=a

Definisi :

Contoh I

Misalkan f(x)=x^2-2x. Dengan menggunakan aturan turunan fungsi di satu titik, tentukan f′(1)!

Solusi :

Turunan Sepihak

Misalkan f(x) terdefinisi pada (c,a]. Turunan kiri f di a adalah :

Misalkan f(x) terdefinisi pada [a,b). Turunan kanan f di a adalah :

Teorema Turunan Sepihak

1. f′ (a)=L ↔ f_′ (a)=L=f+′ (a)

2. Jika f′(a) ada maka f kontinu di a

3. Jika f-′ (a) ≠ f+′ (a), maka f′(a) tidak ada. Dengan kata lain, fungsi f tidak terdiferensialkan di x=a


Contoh II

1. Diketahui 

Tentukan : 

• f′(1) 
• f′(-2) 
• f′(0) 

2. Diketahui f(x)=|x|. Apakah f′(0) ada?

Solusi untuk Contoh II no 1

Nilai f′(1) adalah: 

Nilai f′ (-2) adalah:

Nilai f′(0) adalah : 

Karena f-′ (0) = f+′ (0), maka f′ (0)=-2

Aturan Mencari Turunan

Aturan untuk fungsi-fungsi khusus :

Simbol turunan

Jika y = f(x), maka y′ = f′(x) = dy/dx

Latihan 1

Carilah turunan fungsi berikut ini :

Turunan Trigonometri

Beberapa turunan trigonometri :

Latihan 2

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut :

Turunan ke-n

Dari definisi

dapat diperluas menjadi

atau

dan seterusnya

Latihan 3

1. Tentukan f′′(x) dari fungsi f(x)=x^4+x^3-2 !
2. Tentukan f′′′(x) dari fungsi f(x)=cos⁡(x^2+2) !

Pendiferensialan Implisit ( Turunan Implisit )

Perhatikan fungsi berikut ini :

x^2 y+3y^2+x^2=0 

Untuk fungsi tersebut :

• Turunannya tidak langsung dapat dicari 
• Gunakan turunan implisit 

Turunan fungsi terhadap x ditambah turunan fungsi terhadap y (saat fungsi diturunkan terhadap y, kali turunannya dengan y′)

Contoh

1. Tentukan y′ dari 2x^2 y+y=0!

Solusi :

2. Tentukan y′ dari x^2+5y^2=x+9!

Solusi :

Latihan 4

Tentukan y′ dari :