Pengantar Logika : Proposisi, Hubungan Antar Proposisi, Definisi Term, Sifat Term, dan Contoh Soal

Matematika Dasar : Aplikasi Turunan dan Contoh Soal

Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (a,f(a)) : 

y-f(a)= m(x-a)

m = f′(a), jadi: 

y-f(a)= f′(a)(x-a)

Latihan 1

Solusi Latihan 1 No 1 dan 2

Aproksimasi

Tujuannya untuk menghitung nilai dari f( x+∆x ) jika diketahui f(x) dan f′(x). Nilai f( x+∆x ) dapat dihampiri dengan :

f( x+∆x ) ≅ f(x)+ f′(x)∆x

Latihan 2

Solusi Latihan 2 no 1

Maksimum dan Minimum

Definisi :

1. f(c) adalah nilai maksimum dari f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk setiap nilai x di S
2. f(c) adalah nilai minimum dari f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk setiap nilai x di S
3. Jika f(c) adalah nilai maksimum atau nilai minimum, maka f(c) dikatakan nilai ekstrim dari f pada S

Titik Kritis

Definisi: calon titik ekstrim 

Fungsi f terdefinisi pada interval I yang memuat c. Titik kritis: 

1. Titik ujung dari I 
2. Titik stasioner: ((x,f(x)) di saat f′(x) = 0) 
3. Titik singular: ((x,f(x)) di saat f′(x) tidak ada) 

Latihan 3

1. Tentukan titik kritis dan nilai ekstrim dari :

2. Joan memiliki pagar dengan panjang 200 kaki. Pagar tersebut akan dipakai untuk membuat sebuah kandang anjing yang berbentuk persegi panjang. Joan berharap luas yang dibuat dapat semaksimum mungkin, tentukan panjang dan lebar dari kandang tersebut! 

3. Sebuah kotak tanpa tutup berbentuk balok akan dibuat dari sebuah karton berukuran 24 cm×9 cm dengan menggunting persegi-persegi identik di keempat sudut karton. Tentukan dimensi dari kotak yang dapat dibuat agar volumenya semaksimal mungkin. Berapakah volume maksimalnya?

4. Biaya operasi sebuah trus adalah 25-x/4 sen/mil jika truk tersebut berkendara dengan kecepatan x mil/jam. Supir truk akan mendapatkan $12 per jam. Berapakah kecepatan yang harus ditempuh oleh truk unuk melakukan perjalanan sejauh 400 mil agar biaya yang dikeluarkan seminimal mungkin. Kecepatan yang diperbolehkan adalah di antara 40 dan 55 mil/jam.

Kemonotonan dan Kecekungan

Teorema Kemonotonan 

Misal fungsi f kontinu pada I dan terdiferensialkan pada setiap titik pada I 

1. Jika f′ (x) > 0 untuk setiap x ∈ I, maka f monoton naik pada I 
2. Jika f′ (x) < 0 untuk setiap x ∈ I, maka f monoton turun pada I 
3. Titik (c,f(c)) adalah titik ekstrim jika terjadi perubahan kemonotonan di sekitar c

Teorema Kecekungan 

Misal fungsi f kontinu pada I dan terdiferensialkan dua kali pada setiap titik pada I 

1. Jika f′′ (x) > 0 untuk setiap x ∈ I, maka f cekung atas pada I 
2. Jika f′′(x) < 0 untuk setiap x ∈ I, maka f cekung bawah pada I 
3. Titik (c,f(c)) adalah titik belok jika terjadi perubahan kecekungan di sekitar c dan f′(c) nya ada

Latihan 4

Teorema L’Hopital

Digunakan untuk menyelesaikan limit yang berbentuk 0/0 atau ∞/∞, untuk x menuju apa saja

Latihan 5