Matematika Dasar : Persamaan Kuadrat, Polinominal, dan Contoh Soal

Matematika Dasar : Persamaan Kuadrat, Polinominal, dan Contoh Soal

Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum

ax^2+bx+c=0, dengan a≠0

Contoh: 3x^2-7=0, 4x^2+2x+1=0

Menentukan akar persamaan kuadrat :

Pemfaktoran (faktorisasi)
Melengkapkan kuadrat sempurna
Rumus ABC

Bentuk ax^2+bx+c=0 diuraikan ke bentuk

((ax+p)(ax+q))/a=0

Dengan syarat p⋅q=a⋅c dan p+q=b

Akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh

ax+p=0 atau ax+q=0

Latihan 1

Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan metode pemfaktoran!

x^2-5x+6 = 0
5x^2 -7x+2 = 0
x^2+6x = 0
9x^2-81 = 0
x-2/x = (2-3x)/x
2^2x-5(2^x )+4 = 0
6(9^x )+3^x-2 = 0

Melengkapkan Bentuk-Bentuk Kuadrat

Penyelesaikan dengna melengkapkan bentuk kuadrat :

1.Ubah bentuk ax^2+bx+c=0 ke bentuk ax^2+bx=-c
2.Apabila a≠1, bagilah kedua ruas persamaan dengan a, sehingga: x^2+b/a x=-c/a
3.Lengkapkan bentuk kuadrat dengna menambahkan kedua ruas dengan (b/2a)^2
4.Tuliskan ruas kiri dari persamaan sebagai bentuk kuadrat (√x±√((b/2a)^2 ))^2=-c/a+(b/2a)^2
5.Pergunakan sifat akar kuadrat untuk menyelesaikan bentuk (iv)

Latihan 2

Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan metode melengkapkan kuadrat-kuadrat !

x^2-5x+6=0
5x^2 -7x+2=0
x^2+6x=0
9x^2-81=0
x-2/x=(2-3x)/x
2^2x-5(2^x )+4=0
6(9^x )+3^x-2=0

Rumus ABC

Jika ax^2+bx+c=0 dengan a≠0 maka, solusi :

Latihan 3

Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan metode Rumus ABC!

x^2-5x+6=0
5x^2 -7x+2=0
x^2+6x=0
9x^2-81=0
x-2/x=(2-3x)/x
2^2x-5(2^x )+4=0
6(9^x )+3^x-2=0

Jenis-Jenis Akar

Diskriminan: D=b^2-4ac

Berdasarkan diskriminan :

Jika D > 0 → kedua akar nyata dan berbeda
Jika D = 0 → kedua akar nyata dan kembar
Jika D < 0 → kedua akar tidak nyata

Latihan 4

Tentukan nilai m agar persamaan (m-1) x^2-4mx+5m+6=0 mempunyai akar kembar
Tentukan nilai p agar persamaan px^2-2(p-1)x+p=0 mempunyai dua akar tidak real

Polinominal

Menentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian

Pembagian menurun
Cara bagan/skema/Horner

Contoh

Misalkan f(x) = x^5 + 2x^4 – 3x^3 – x^2 + 7x – 5. Tentukan hasil bagi dan sisa f(x) jika dibagi dengan x + 3. Gunakan Teorema Sisa untuk menentukan f(–3).

Pembahasan:

Karena x + 3 = x – (–3), maka kita dapat melakukan pembagian suku banyak seperti berikut.

Hasil baginya adalah x^4 – x^3 – x + 10 dan sisanya adalah –35.

Berdasarkan Teorema Sisa, f(–3) merupakan sisa pembagian f(x) oleh x – (–3) = x+ 3. Dari bagian (1) kita telah menemukan sisanya adalah –35. Sehingga f(–3) = –35.

Teorema berikut ini dapat membantu kita untuk mensketsa grafik fungsi suku banyak.

Latihan 5

Tentukan hasil bagi dan sisa hasil bagi jika x^3+5x^2+2x+3 dibagi (x-2)!
Tentukan hasil bagi dan sisa hasil bagi jika x^4-3x^3+9x^2-2x-3 dibagi x^2-2x-3!

Teorema Faktor

Jika suku banyak f(x) habis dibagi (x-h) maka (x-h) merupakan faktor dari f(x) (f(h)=0, h adalah akar dari persamaan f(x)=0)

Latihan 6

Carilah akar-akar persamaan !

1.x^4+4x^3+2x^2-4x-3=0
2.3x^3+x^2-8x+4=0

Latihan 7

x^3+x^2-10x+8=0
x^5+x^4-2x^3+x^2+x-2=0
4x^2-16x^2-x+4=0
2x^4+5x^3-5x^2-20x-12=0
Jika -1 adalah salah satu akar persamaan x^3-x^2-ax-2=0, carilah nilai a dan akar-akar lainnya

Latihan 8 ( Tingkat Menengah )

Panjang sisi siku-siku sebuah segitiga adalah 21 m lebih pajang dari sisi siku-siku lainnya. Bila panjang sisi miring segitiga itu 39 m, hitunglah panjang kedua sisi siku-siku segitiga tersebut!
A dan B dapat mengerjakan suatu pekerjaan bersama-sama selama 10 hari. Jika mereka mengerjakan sendiri-sendiri, A membutukan waktu 5 hari lebih lama daripada B untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut. Berpa hari waktu yang dibutuhkan oleh masing-masing A dan B jika mereka melakukan pekerjaan itu sendiri-sendiri?
Panjang rusuk-rusuk sebuah balok merupakan tiga bilangan asli yang berurutan. Jika volumenya adalah 60 liter, carilah panjang rusuk-rusuknya!
Panjang sebuah kotak adalah dua kali lebarnya dan dalamnya 4 dm lebih dari lebarnya. Jika isi kotak itu adalah 450 liter maka luas permukaannya adalah...

Latihan 9 ( Tingkat Mahir )

Sisa pembagian A(x – 2)^2014 + (x – 1)^2015 – (x – 2)^2 oleh x^2 – 3x + 2 adalah Bx – 1. Nilai 5A + 3B adalah …
Diberikan polinomial Q(x) dan $\displaystyle f(x)=ax^3+(a-b)x^2+2bx+a$ . Q(x)f(x) dan Q(x) berturut-turut memberikan sisa -26 dan 1 apabila masing-masing dibagi x – 2, dan f(x) habis dibagi x – 1, maka f(x) dibagi $x^2+x$ memberikan sisa …
Banyaknya akar real $\displaystyle f(t)=t^9-t$ adalah … buah
Hasil kali akar-akar riil dari $(2x+1)(3x+1)(5x+1)(30x+1)=10$ adalah ….
Jika suku banyak $2x^3-kx^2-x+16$ dibagi $x-1$ mempunyai sisa 10, maka nilai $k$ adalah …