Matematika Diskrit : Fungsi Lantai, Fungsi Atap, Fungsi Rekursif, Induksi Matematika, dan Contoh Soal
Fungsi Atap
Fungsi atap f(x) adalah fungsi yang memetakan bilangan real x ke bilangan bulat yang sama dengan atau lebih dari x.
Contoh :
Fungsi Lantai
Fungsi atap f(x) adalah fungsi yang memetakan bilangan real x ke bilangan bulat yang sama dengan atau kurang dari x.
Contoh :
Diagram Fungsi atap dan Fungsi lantai
Latihan 1
Fungsi Rekursif
Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri.
Fungsi rekursif terdiri atas 2 bagian :
Basis
Bagian yang berisi nilai awal, yang tidak mengacu pada dirinya sendiri.
Rekurens
Bagian yang mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri.
Contoh Fungsi Rekursif I
Misalkan f(n) = n!, maka fungsi faktorial ini dapat dituliskan sebagai fungsi rekursif berikut :
Basisnya adalah di saat n = 0.
Sehingga
- n = 0, maka f(0) = 1 = 0!
- n = 1, maka f(1) = 1.f(0) = 1.1 = 1 = 1!
- n = 2, maka f(2) = 2.f(1) = 2.1 = 2 = 2!
- n = 3, maka f(3) = 3.f(2) = 3.2.1 = 6 = 3! dst
Contoh Fungsi Rekursif II
Fungsi Chebysev didefinisikan sebagai berikut :
Fungsi ini memiliki 2 basis, yaitu saat n = 0 dan n= 1.
Jika dituliskan nilai fungsinya :
- n = 0, maka T(0,x) = 1
- n = 1, maka T(1,x) = x
- n = 2, maka
Contoh Fungsi Rekursif III
Fungsi Fibonacci dapat dituliskan sebagai fungsi rekursif sebagai berikut :
Tentukan nilai fungsi untuk n = 0,1,2,3,4,5
Menyatakan sebagai Fungsi Rekursif
Misal, akan dinyatakan fungsi
sebagai fungsi rekursif.
Nyatakan f(n) dalam argumen rekursif
Tentukan basis, yaitu
Maka fungsi f (n) dapat dinyatakan sebagai :
Latihan 2
Konsep Induksi Matematika
Metode pembuktian suatu proposisi yang berhubungan dengan bilangan bulat.
Contoh proposisi :
- Untuk semua
- Banyaknya himpunan bagian yang dibentuk dari sebuah himpunan beranggotakan n elemen adalah 2n.
Prinsip Induksi Sederhana
Misalkan p(n) adalah proposisi yang berhubungan dengan bilangan bulat positif akan dibuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Untuk membuktikan proposisi ini benar, tunjukkan:
- p(1) benar
- Asumsikan p(n) benar
- Tunjukkan p(n+1) benar
Contoh 1
Tunjukkan bahwa untuk
1. Tunjukkan p(1) benar.
Untuk n = 1, p(1) benar karena
2. Asumsikan p(n) benar.
Maka
3. Tunjukkan p(n+1) benar
Contoh 2
Tunjukkan bahwa jumlah n bilangan ganjil positif pertama adalah n^2
1. Tunjukkan p(1) benar
Untuk n = 1, 1 = 1^2 maka p(1) benar
2. Asumsikan p(n) benar
maka 1 + 3 + … + (2n-1) = n^2.
3. Tunjukkan p(n+1) benar
Latihan 3
Posting Komentar