Matematika Diskrit : Relasi, Sifat Relasi, dan Contoh Soal

Matematika Dasar : Fungsi, Limit, dan Kekontiniuan Fungsi

Fungsi

• Aturan yang menghubungkan setiap obyek dari sebuah himpunan daerah asal (domain) ke tepat satu nilai pada himpunan daerah hasil (range) 
• Domain (daerah asal) : sebuah himpunan bilangan-bilangan yang membuat sebuah fungsi g(x) menghasilkan nilai (dinotasikan: D_g) 
• Range (daerah hasil) : sebuah himpunan bilangan-bilangan yang memuat hasil dari sebuah fungsi g(x) (dinotasikan: R_g)

Latihan 1

Dari f(x)=x^2+3x, tentukan:

• f(1) 
• f(√2) 
• f(a) 
• f(y^2) 
• f(x^3) 
• f(-x)

Tentukan D_f dan R_f dari:

  

• f(x)=x-3 
• f(x)=√3x 
• f(x)=|2x-8| 
• f(x)=3x/(2x-1) 
• f(x)=√(x^2-225) 
• f(x)=x^2-x-6 
• f(x)= sin⁡x 
• f(x)=cos⁡x 
• f(x)=tan⁡x 
• f(x)=⌊x⌋

Operasi pada Fungsi

Operasi aljabar pada fungsi: 

• (f+g)(x) = f(x)+g(x) 
• (f-g)(x) = f(x)-g(x) 
• (f⋅g)(x) = f(x)⋅g(x) 
• (f/g)(x) = (f(x))/(g(x))

Latihan 2

Diketahui F(x)=∜(x+1) dan G(x)=√(9-x^2 ). Tentukan: 

• Domain untuk F dan G 
• Aturan untuk masing-masing soal berikut beserta domain masing-masing! 
• F+G 
• F-G 
• F⋅G 
• F/G

Fungsi Komposisi 

1.(g∘f)(x)=g(f(x)) 

Syarat: D_g∩R_f≠∅ 

2.(f∘g)(x)=f(g(x)) 

Syarat: D_f∩R_g≠∅ 

Latihan 3

f(x)=4x-x^2 dan g(x)=√x. Tentukan: 

• D_f,R_f,D_g,R_g 
• Apakah (f∘g)(x) terdefinisi? 
• Jika ya, tentukan aturan fungsinya! 
• Ulang soal b dan c untuk (g∘f)(x)!

Limit

Definisi

• lim┬(x→c)⁡〖f(x)=L〗 berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L 
• Strategi substitusi langsung: Jika f fungsi polinom atau fungsi rasional, maka lim┬(x→c)⁡〖f(x)=f(c)〗 (dalam kasus fungsi rasional, nilai penyebutnya tidak nol) 
• Jika dengan susbtitusi langsung diperoleh nilai dengan bentuk tak tentu (0/0,∞/∞,0⋅∞,∞-∞,0^0,∞^0,∞^∞ ): 
• Strategi Faktorisasi 
• Strategi Mengalikan dengan Bentuk Sekawan

Latihan 4

Limit Kanan dan Kiri

lim┬(x→c^+ )⁡〖f(x)=L〗 berarti jika x dekat tapi pada sebelah kanan c 

lim┬(x→c^- )⁡〖f(x)=L〗 berarti jika x dekat tapi pada sebelah kiri c 

Teorema

• lim┬(x→c)⁡〖f(x)=L〗↔ lim┬(x→c^- )⁡〖f(x)=L〗 dan lim┬(x→c^+ )⁡〖f(x)=L〗 
• 〖lim┬(x→c^- )⁡〖f(x)=L〗〗_1 dan 〖lim┬(x→c^+ )⁡〖f(x)=L〗〗_2 dengan L_1≠L_2, maka lim┬(x→c)⁡〖f(x)〗 tidak ada 

Latihan 5

Limit di Ketakhinggaan, Limit tak Terhingga

lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 tidak ada, jika terjadi salah satu dari: 

• 1.lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)〗 dan lim┬(x→a^- )⁡〖f(x)〗 ada tapi tak sama 
• 2.lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)〗 atau lim┬(x→a^- )⁡〖f(x)〗 berosilasi di sekitar a (contoh: lim┬(x→∞)⁡ sin⁡x ) 

Bentuk-bentuk tak tentu limit

1.Bentuk 0/0 

B.U. : lim┬(x→a)⁡〖(f(x))/(g(x))〗, di mana lim┬(x→a)⁡〖f(x)=lim┬(x→a)⁡〖g(x)=0〗 〗 

Solusi: Hilangkan penyebab bentuk 0/0

2.Bentuk ∞/∞

B.U. : lim┬(x→a)⁡〖(f(x))/(g(x))〗, di mana lim┬(x→a)⁡〖f(x)=±∞ 〖, lim┬(x→a)〗⁡〖g(x)=±∞〗 〗

Solusi: Bagi dengan x^n di mana n adalah pangkat tertinggi sesuai kasus 

3.Bentuk 0⋅∞

B.U. : lim┬(x→a)⁡〖(f(x)g(x))〗, dimana lim┬(x→a)⁡〖f(x)=0〗 dan lim┬(x→a)⁡〖g(x)=±∞〗

Solusi: Ubah jadi 0/0 atau ∞/∞

4.Bentuk ∞-∞

B.U. : lim┬(x→a)⁡〖(f(x)-g(x))=∞-∞〗

Solusi : Ubah jadi ∞/∞, salah satu caranya dengan kali sekawan

Latihan 6

B.U. lim┬(x→a)⁡〖(f(x))/(g(x))〗, dimana lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L≠0〗 dan lim┬(x→a)⁡〖g(x)=0〗 maka

• 1.lim┬(x→a)⁡〖(f(x))/(g(x))=+∞〗 untuk
• a.lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L>0〗, lim┬(x→a^- )⁡〖g(x)>0〗, dan lim┬(x→a^+ )⁡〖g(x)>0〗
• b.lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L<0〗,lim┬(x→a^- )⁡〖g(x)<0〗, dan lim┬(x→a^+ )⁡〖g(x)<0〗
• 2.lim┬(x→a)⁡〖(f(x))/(g(x))=-∞〗 untuk
• a.lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L>0〗, lim┬(x→a^- )⁡〖g(x)<0〗, dan lim┬(x→a^+ )⁡〖g(x)<0〗
• b.lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L<0〗,lim┬(x→a^- )⁡〖g(x)>0〗, dan lim┬(x→a^+ )⁡〖g(x)>0〗

Latihan 7

Kekontinuan Fungsi

• Fungsi f kontinu di a ↔lim┬(x→c^- )⁡〖f(x)=L〗 ", " lim┬(x→c^+ )⁡〖f(x)=L〗, dan f(c)=L 
• Kekontinuan sepihak di satu titik: 
• Misal f(x) terdefinisi pada selang [a,b), f kontinu kanan di a↔ lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)=f(a)〗 
• Misal f(x) terdefinisi pada selang (a,b], f kontinu kiri di b↔lim┬(x→b^- )⁡〖f(x)=f(b)〗 
• Fungsi f konitnu di a↔f kontinu kiri dan kontinu kanan di a 

lim┬(x→a^- )⁡〖f(x)〗=lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)=f(a)〗

Latihan 8